- •Глава 7. Линейные операторы в евклидовом пространстве
- •§1. Некоторые сведения о матрицах
- •Ортогональные и унитарные матрицы
- •Свойства ортогональных и унитарных матриц
- •Некоторые свойства эрмитовых и симметричных матриц
- •§ 2. Сопряженный линейный оператор
- •Свойства сопряженных операторов
- •§ 3. Самосопряженные линейные операторы
- •§4. Приведение уравнений кривых и поверхностей
- •Если обозначить
- •§ 5. Изометрии
- •§ 6. Классификация линейных операторов на евклидовой
- •Плоскости и в трехмерном евклидовом пространстве
- •Ортогональные операторы на евклидовой плоскости
- •Ортогональные операторы в трехмерном евклидовом пространстве
- •Симметричные операторы в
- •Разложение произвольного линейного оператора в действительном евклидовом пространстве в произведение симметричного и ортогонального
- •§ 7. Одновременное приведение к каноническому виду пары квадратичных форм
- •Правило приведения пары квадратичных форм к каноническому виду
Если обозначить
, , (7.16)
, (7.17)
то (7.15) запишется в виде
.
Сравнивая (7.13) и (7.16), (7.10) и (7.17), замечаем, что
, .
Завершает доказательство цепочка рассуждений:
{ – центр симметрии Ф} { – центр симметрии Ф}
{ } { }.◄
Вывод. Если с помощью параллельного переноса поместить начало координат в центр симметрии кривой второго порядка, то при этом: квадратичная часть ее уравнения не изменится; слагаемые первой степени пропадут; свободный член нового уравнения можно найти по формуле .
Точно так же доказываются аналогичные утверждения и для поверхностей второго порядка.
Пример. Определить вид поверхности второго порядка
,
приведя ее уравнение к каноническому виду, и нарисовать эту поверхность.
▼1. Проверяем существование центра симметрии. Для этого вычисляем частные производные и составляем систему вида (7.14):
Решая эту систему, находим . С помощью параллельного переноса помещаем начало координат в центр поверхности . При этом квадратичная часть уравнения не изменится, слагаемые первой степени пропадут, свободный член .
2. Приводим к каноническому виду квадратичную часть.
; ,
; .
Рис.7.2
Записываем каноническое уравнение поверхности:
или
и видим, что это однополостный гиперболоид.
Находим базис, состоящий из собственных векторов, используя алгебраические дополнения:
; ; .
Заметим, что нормировать базисные векторы нет необходимости. Нормированные векторы были бы нам нужны для записи ортогонального преобразования переменных, приводящего квадратичную часть к каноническому виду. Но в данном примере это преобразование не используется. Остается поверхность нарисовать (рис. 7.2). ▲
§ 5. Изометрии
Определение. Линейный оператор f евклидова пространства Е в себя называется изометрией, если он сохраняет скалярное произведение, т. е. если
(7.18)
Изометрии в комплексном евклидовом пространстве называются унитарными операторами, а в действительном – ортогональными.
Теорема 7.10. Если – собственное значение изометрии, то ||=1.
►Пусть – собственный вектор изометрии , – его собственное значение. Положим . Тогда: (7.18) .◄
Замечание. Собственные значения ортогонального оператора равны 1 или –1. Ортогональный оператор в пространстве четной размерности может и не иметь собственных значений, но в пространстве нечетной размерности имеет хотя бы одно.
Теорема 7.11. Для того чтобы линейный оператор был изометрией, необходимо и достаточно, чтобы он сохранял длины векторов.
►Необходимость очевидна.
Достаточность (доказываем для комплексного случая). Пусть f сохраняет длины векторов, т. е. . Тогда :
. (7.19)
Так как (7.19) справедливо для всех комплексных , то при = 1 получаем . Если же , то (7.19) принимает вид , и, таким образом, утверждение доказано.◄
Следствие. Ортогональный оператор сохраняет углы между векторами.
Теорема 7.12. Изометрия любой ортонормированный базис пространства переводит в ортонормированный базис. Обратно, если линейный оператор некоторый ортонормированный базис пространства переводит в ортонормированный базис, то f – изометрия.
►Первое утверждение, очевидно, справедливо. Действительно, согласно определению, ортонормированный базис переходит в ортонормированную систему из n векторов, которая в силу теоремы 6.4 линейно независима и поэтому в n-мерном линейном пространстве является базисом.
Обратно. Пусть линейный оператор некоторый ортонормированный базис
(7.20)
пространства переводит в ортонормированный базис
, (7.21)
и пусть и – произвольные векторы пространства . Тогда каждый из векторов и можно разложить по базису (7.20): Так как базисы (7.20) и (7.21) ортонормированны, то . Значит,
и, таким образом, f – изометрия.◄
Теорема 7.13. Для того чтобы линейный оператор был изометрией, необходимо и достаточно, чтобы .
►На основании теоремы 7.2 любой линейный оператор имеет сопряженный. Тогда:
{f – изометрия}
[лемма 7.1] { }. (7.22)
Если А – матрица оператора в некотором ортонормированном базисе пространства , то – матрица оператора в том же базисе, и из (7.22) для изометрии получаем
. (7.23)
Из (7.23) вытекает, во-первых, что матрица изометрии невырождена, значит, любая изометрия – невырожденный линейный оператор, причем . Во-вторых, для того чтобы линейный оператор f комплексного евклидова пространства в себя был унитарным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом ортонормированном базисе пространства была унитарной. Для того чтобы линейный оператор f действительного евклидова пространства в себя был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом ортонормированном базисе пространства была ортогональной.◄