- •Глава 7. Линейные операторы в евклидовом пространстве
- •§1. Некоторые сведения о матрицах
- •Ортогональные и унитарные матрицы
- •Свойства ортогональных и унитарных матриц
- •Некоторые свойства эрмитовых и симметричных матриц
- •§ 2. Сопряженный линейный оператор
- •Свойства сопряженных операторов
- •§ 3. Самосопряженные линейные операторы
- •§4. Приведение уравнений кривых и поверхностей
- •Если обозначить
- •§ 5. Изометрии
- •§ 6. Классификация линейных операторов на евклидовой
- •Плоскости и в трехмерном евклидовом пространстве
- •Ортогональные операторы на евклидовой плоскости
- •Ортогональные операторы в трехмерном евклидовом пространстве
- •Симметричные операторы в
- •Разложение произвольного линейного оператора в действительном евклидовом пространстве в произведение симметричного и ортогонального
- •§ 7. Одновременное приведение к каноническому виду пары квадратичных форм
- •Правило приведения пары квадратичных форм к каноническому виду
Симметричные операторы в
Как было доказано в § 3, для любого симметричного оператора в существует ортонормированный базис, в котором матрица оператора имеет диагональный вид. Перечислим все принципиально возможные различные случаи.
– тождественный оператор;
– симметрия относительно оси;
– симметрия относительно плоскости;
– симметрия относительно начала координат;
(перечисленные операторы одновременно являются и ортогональными);
– нулевой оператор;
– проектирование на ось с направлением вектора ;
– проектирование на плоскость, перпендикулярную вектору ;
– растяжение при и сжатие при ;
– растяжение от оси при и сжатие к оси при ;
– растяжение вдоль оси при и сжатие вдоль оси при
.
Рассмотрим теперь некоторую диагональную матрицу
,
в которой, например, . Тогда
,
т. е. оператор, заданный матрицей , есть композиция растяжений (или сжатий) вдоль трех взаимно перпендикулярных осей и симметрии относительно оси. Любая диагональная матрица может быть представлена в виде произведения перечисленных выше десяти простейших матриц. Например, при положительных и
,
откуда вытекает, что оператор с такой матрицей есть композиция двух растяжений вдоль осей, проектирования на плоскость и симметрии относительно другой плоскости.
Разложение произвольного линейного оператора в действительном евклидовом пространстве в произведение симметричного и ортогонального
Теорема 7.14. Пусть – действительное евклидово пространство. Для любого невырожденного линейного оператора существуют симметричный и ортогональный операторы такие, что .
►Рассмотрим линейный оператор . Так как , то оператор симметричный. Если – собственное значение оператора , а – соответствующий ему собственный вектор, то . С другой стороны, . Итак, , откуда вытекает, что . На самом деле, в силу невырожденности , . Как и для любого симметричного оператора, для в существует ортонормированный базис
, (7.25)
в котором матрица оператора имеет диагональный вид
,
причем , и не обязательно различные. Обозначим тот линейный оператор, который в базисе (7.25) имеет матрицу
.
Так как , то . Очевидно, оператор – симметричный и невырожденный, поэтому существует обратный ему линейный оператор , также симметричный (его матрица в базисе (7.25) – это
,
она тоже симметрична). Положим
. (7.26)
Учитывая, что [симметрия ] = , делаем вывод, что – ортогональный оператор. Теперь из (7.26) получаем . ◄
Можно доказать, что эта теорема справедлива и для вырожденных линейных операторов.
Следствие. Любая действительная квадратная матрица может быть представлена в виде произведения ортогональной и симметричной матриц.
§ 7. Одновременное приведение к каноническому виду пары квадратичных форм
Теорема 7.15. Пусть и – квадратичные формы на действительном линейном пространстве , причем одна из них положительно определена. Тогда в существует базис, в котором обе квадратичные формы имеют канонический вид.
►Пусть, например, квадратичная форма положительно определена. Тогда соответствующая ей симметричная билинейная форма тоже положительно определена. С помощью этой билинейной формы можно задать скалярное произведение на линейном пространстве и после этого оно превращается в евклидово пространство . Согласно теореме 7.7, в существует ортонормированный базис
, (7.27)
в котором форма имеет канонический вид. Так как базис (7.27) ортонормированный, то . Значит, квадратичная форма в базисе (7.27) имеет единичную матрицу, и поэтому форма в этом базисе имеет нормальный вид. ◄