Test dla dwóch średnich

Rozważane są dwie zbiorowości , każda ze względu na pewną wybraną zmienną X. Zakłada się , że badana cecha w każdej z tych zbiorowości ma rozkład normalny odpowiednio o parametrach - w pierwszej zbiorowości oraz - w drugiej zbiorowości. W celu sprawdzenia hipotezy : wobec ( może być lub ) pobiera się niezależnie z każdej z tych zbiorowości próby proste o liczebności odpowiednio równej n₁ i n₂. Jeżeli , to dla zweryfikowania wykorzystuje się statystykę :

Statystyka ta ma rozkład t- Studenta o stopniach swobody wówczas, gdy prawdziwa jest H₀ oraz wariancje badanej zmiennej w obu populacjach są równe ( )

W przypadku gdy , w celu weryfikacji rozważanej H₀ wykorzystuje się statystykę o następującej postaci :

Statystyka ta ma graniczny rozkład normalny , czyli opierając się na rozkładzie N(0,1) określa się krytyczny i dopuszczalny zbiór wartości rozważanej statystyki.

Test dla wariancji

Chcemy sprawdzić hipotezę , że wariancja w populacji , w której badana cecha ma rozkład normalny N( ), jest równe liczbie . Najczęściej w praktyce hipoteza konkurencyjna ( alternatywna ) głosi , że wariancja jest większa od . Sformułowane hipotezy możemy zapisać następująco : wobec .

W celu sprawdzenia hipotezy pobieramy próbę prostą losową liczącą n jednostek i wykorzystujemy statystykę o postaci :

Statystyka ma rozkład ( chi – kwadrat ) o v=n-1 stopniach swobody, gdy prawdziwa jest H₀. Zbiór wartości krytycznych testu wyznacza się z relacji Jeżeli wartość statystyki testu znajdzie się w obszarze krytycznym to z prawdopodobieństwem odrzucamy hipotezę . W przeciwnym wypadku wstrzymujemy się od podjęcia decyzji.

W przypadku , gdy rozważana jest duża próba, to wykorzystuje się statystykę u Fishera o postaci : . Statystyka ta ma graniczny rozkład N ( 0,1 ) wówczas , gdy prawdziwa jest H₀.

Test dla dwóch wariancji

Badamy dwie populacje o rozkładzie normalnym N( i . Żaden z tych parametrów nie jest znany. Należy sprawdzić hipotezę wobec hipotezy alternatywnej .

Do weryfikacji hipotezy , że wariancje w obu populacjach są identyczne , używa się wariancji oraz obliczanych z dwóch niezależnych prób prostych o liczebności , odpowiednio , oraz .

Jeżeli prawdziwa jest hipoteza zerowa , tzn. , to zmienna ma rozkład F-Snedecora ( lub krótko rozkład F ) z oraz stopniami swobody, przy czym i są estymatorami wariancji z niezależnych prób prostych pobranych ze zbiorowości o rozkładzie normalnym. Relacja wyznaczająca prawostronny obszar krytyczny jest postaci , gdzie wartość krytyczną odczytujemy z tablic rozkładu F-Snedecora , dla i stopni swobody. Jeżeli powyższa relacja jest spełniona , należy hipotezę odrzucić . W przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia o identyczności wariancji w obu populacjach.

Gdy sprawdzeniu podlega hipoteza wobec , wówczas statystykę F oblicza się , umieszczając w liczniku większą z wariancji z obu prób, nawet jeśli pochodzi ona z populacji oznaczonej numerem 2 .