Rozkład prawdopodobieństwa skokowej zmiennej losowej X spełnia następujące warunki

dla wszystkich wartości x ( 1 )

( 2 )

Przykład 1. Załóżmy, że w poniższym zestawieniu wymieniono możliwe liczby ogłoszeń zamieszczonych dziennie w gazecie i odpowiadające im prawdopodobieństwa

X	0	1	2	3	4	5
P(X)	0,1	0,2	0,3	0,2	0,1	0,1

Jest to rozkład prawdopodobieństw zmiennej losowej X. Można zauważyć, że wszystkie prawdopodobieństwa są nieujemne i sumują się do jedności. Zmienne losowa nie przyjmuje wartości większych od 5, co oznacza, że nie zamieszcza się nigdy więcej niż 5 ogłoszeń dziennie. Prawdopodobieństwo zamieszczenia dwóch ogłoszeń wynosi 0,3, a trzech ogłoszeń – 0,2.Powstaje pytanie , skąd się biorą prawdopodobieństwa

• Redakcja gazety codziennie rejestruje liczbę zamieszczonych ogłoszeń. Częstości z jakimi pojawiają się w długim szeregu dni różne liczby ogłoszeń ,łatwo obliczyć z tych rejestrów. Częstości te uznajemy za prawdopodobieństwa ukazania się odpowiednich liczb zamieszczonych ogłoszeń.

• W innych sytuacjach prawdopodobieństwa można wyprowadzić z pewnych teoretycznych rozważań. Takie rozkłady są tablicowane i można je znaleźć w każdym podręczniku statystyki.

Dystrybuanty ( skumulowane funkcje rozkładu )

Skumulowaną funkcją rozkładu ( dystrybuantą ) skokowej zmiennej losowej X jest funkcja

( 3 )

Dla przykładu 1 dystrybuanta liczby ogłoszeń zamieszczonych dziennie w gazecie wynosi

x	0	1	2	3	4	5
P(x)	0,1	0,2	0,3	0,2	0,1	0,1
F(x)	0,1	0,3	0,6	0,8	0,9	1,0

Należy zauważyć, że każda wartość F(x) jest sumą wszystkich wartości P(i) dla i mniejszych lub równych x. Na przykład

Oczekiwana wartość I odchylenie standardowe zmiennej losowej

Oczekiwana wartość skokowej zmiennej losowej X jest równa sumie wszystkich możliwych wartości tej zmiennej mnożonych przez ich prawdopodobieństwa

( 4 )

Wykorzystując dane z przykładu 1 wyznaczamy oczekiwaną liczbę ogłoszeń w gazecie ( zgodnie z wzorem 4 )

Obliczenie oczekiwanej ( średniej ) liczby ogłoszeń w gazecie

x	P(x)	X P(x)
0	0,1	0
1	0,2	0,2
2	0,3	0,6
3	0,2	0,6
4	0,1	0,4
5	0,1	0,5
	1,0	3,3

Z tablicy wynika, że . Możemy powiedzieć, że przeciętnie dzienne zamieszcza się 2,3 ogłoszenia.

Oczekiwana wartość funkcji skokowej zmiennej losowej h(x) jest :

( 5 )

Przykład 2. Miesięczna sprzedaż pewnego produktu charakteryzuje rozkład prawdopodobieństwa podany w poniższej tablicy.

Sprzedaż	5000	6000	7000	8000	9000
P(x)	0,2	0,3	0,2	0,2	0,1	1,0

Przypuśćmy, że firma ponosi stały miesięczny koszt produkcji równy 8000 $ i że na każdej wyprodukowanej jednostce zarabia 2 $. Jaki jest miesięczny oczekiwany zysk firmy ?

Funkcja zysku ze sprzedaży produktu jest dla firmy funkcja h(x)=2x – 8000.

Tablica pomocnicza do wyznaczenia oczekiwanego zysku

x	h(x)	P(x)	h(x)P(x)
5 000	2 000	0,2	400
6 000	4 000	0,3	1 200
7 000	6 000	0,2	1 200
8 000	8 000	0,2	1 600
9 000	10 000	0,1	1 000
			5 400 = E[h(x)]

W przypadku liniowej funkcji zmiennej losowej, obliczenie oczekiwanej wartości funkcji h(x) można uprościć, korzystając ze wzoru na oczekiwaną wartość funkcji zmiennej losowej.

Oczekiwana wartość liniowej funkcji zmiennej losowej :

E(a X +b) = a E(x)+b ( 6 )

Gdzie a i b są ustalonymi liczbami. W rozpatrywanym przykładzie 2 mamy ;

E [ h (x)] = E[2x – 8 000 ] = 2 E (x) – 8 000 = 2 * 6 700 – 8 000 = 5 400 $ .