Wariancja I odchylenie standardowe zmiennej losowej

Wariancja zmiennej losowej jest oczekiwana wartość kwadratu odchylenia tej zmiennej od jej średniej . Pojęcie to jest podobne do pojęcia wariancji w zbiorze wyników obserwacji ( w próbie lub populacji ) .

Wariancją skokowej zmiennej losowej X jest : ( 7)

Dla przykładu 1 mamy :

x	P(x)
0	0,1	-2,3	5,29	0,529
1	0,2	-1,3	1,69	0,338
2	0,3	-0,3	0,09	0,027
3	0,2	0,7	0,49	0,098
4	0,1	1,7	2,89	0,289
5	0,1	2,7	7,29	0,729
				2,01

Wygodny do stosowania wzór obliczania wariancji zmiennej losowej :

( 8 )

Zgodnie z wzorem (8) wyznaczamy dla przykładu 1 wariancję liczby ogłoszeń w gazecie.

Obliczenia pomocnicze

X	P(X)	X P(X)	X^2P(X)
0	0,10	0	0
1	0,20	0,20	0,20
2	0,30	0,60	1,20
3	0,20	0,60	1,80
4	0,10	0,40	1,60
5	0,10	0,50	2,50
	1,00	2,30	7,30

Dla zmiennych losowych standardowe odchylenie określamy jako dodatni pierwiastek kwadratowy z wariancji . Standardowe odchylenie zmiennej losowej wyraża się wzorem:

( 9 )

W rozpatrywanym przykładzie 1 wynosi

Wariancję liniowej funkcji zmiennej losowej wyznaczyć można z następującego wzoru :

( 10 )

gdzie a i b są ustalonymi liczbami.

Wariancja jako średnie kwadratowe odchylenie wartości zmiennej losowej od jej wartości średniej jest miarą rozproszenia możliwych wartości zmiennej. Wariancja daje wyobrażenie o zmienności a tym samym o niepewności związanej z przyszłymi wartościami zmiennej, które mogą tym bardziej odbiegać od przeciętnej, im wyższa jest wariancja.

Posługiwanie się odchyleniem standardowym często jest wygodniejsze z tego powodu, że wariancja jest wielkością „kwadratową” Odchylenie standardowe jest łatwiejsze do interpretacji z punktu widzenia ekonomicznego. Na przykład : standardowe odchylenie stopy przychodu z określonej lokaty kapitału powszechnie jest uznawane za miarę ryzyka związanego z tą lokatą.

Twierdzenie Czebyszewa

Znajomość odchylenia standardowego pozwala wyznaczyć granice, w których możliwe wartości zmiennej losowej mieszczą się z pewnym określonym prawdopodobieństwem. Granice te wyznacza twierdzenie Czebyszewa . Twierdzenie to powiada, że dla dowolnej liczby k większej od jedności prawdopodobieństwo, że wartość zmiennej losowej odchyla się od wartości o mniej niż o k odchyleń standardowych, jest nie mniejsze niż 1 – 1/k².

Możemy to twierdzenie zapisać następująco : dla dowolnej zmiennej losowej o średniej i odchyleniu standardowym oraz dla dowolnej liczby :

( 11 )