Rozkłady zmiennej losowej ciągłej

Rozkład normalny

Rozkład normalny wiąże się z nazwiskiem matematyka K.F. Gaussa ( 1777 – 1855 ) i bywa najczęściej określany jako rozkład Gaussa. Rozkład normalny to jeden z najważniejszych rozkładów zmiennej losowej ciągłej. Odgrywa on w zastosowaniach statystyki ogromną rolę. Mówimy , że zmienna losowa x ma rozkład normalny z parametrami i , co zapisujemy lub , jeśli jej funkcja gęstości jest określona następującym wzorem :

, dla ( 9)

gdzie :

Krzywa gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego ma następujące własności :

1. Krzywa normalna jest krzywą w kształcie dzwonu, symetryczną względem prostej przechodzącej przez punkt , co znaczy, że jest spełniona równość : . Oś rzędnych jest oczywiście osią symetrii krzywej.

2. Obszar ograniczony wykresem funkcji f(x) i osią odciętych ma pole równe jedności.

3. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego osiąga maksimum w punkcie . Obliczając pochodną funkcji (9) i przyrównując ją do 0 , sprawdzamy łatwo, że wartość maksymalna tej funkcji gęstości wynosi :

4.Krzywa gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego ma 2 punkty przegięcia, położone symetrycznie względem osi rzędnych , o odciętych , w których krzywa z wklęsłej przechodzi w wypukłą lub odwrotnie.

Parametr rozkładu normalnego jest to średnia rozkładu czyli miara położenia. Mówi o tym , gdzie leży centrum rozkładu na osi liczbowej. Ponieważ krzywa gęstości normalnej jest symetryczna i ma jeden szczyt , w środku ,średnia jest równocześnie medianą i dominantą rozkładu prawdopodobieństwa. Inaczej mówiąc, jest też punktem, w którym gęstość jest największa i który dzieli pole pod krzywą gęstości na połowy, z których każda ma miarę ½.Standardowe odchylenie jest miarą zmienności , czyli rozproszenia zmiennej. Gdy standardowe odchylenie jest duże, wykres funkcji gęstości jest „ szeroki „ , ale za to „ płaski „( Całe pole pod krzywą musi mieć miarę równą 1 ). Gdy standardowe odchylenie jest małe, wykres funkcji gęstości jest „ wąski „ ale „ wysoki „

Na uwagę zasługują także następujące własności rozkładu normalnego :

• 

• 

• 

W analizach szczególnie ważna jest reguła trzech odchyleń standardowych zwana także reguła 3 sigm, której prawdopodobieństwo jest bardzo wysokie i praktycznie wynosi 1. Jest ona wykorzystywana w badaniach empirycznych w celu eliminacji obserwacji nietypowych, nie przystających do pozostałych ( wątpliwych , rzadkich , odstających , ekstremalnych ) , co do których istnieją przypuszczenia , że pochodzą z innej zbiorowości. Za wątpliwe uznaje się takie obserwacje , których wartość różni się od średniej o więcej niż 3 odchylenia standardowe.

Rozkład normalny standaryzowany

Rozkład normalny z wartością oczekiwaną i odchyleniem standardowym , czyli , określony za pomocą formuły :

( 10 )

Każdy rozkład normalny może być transformowany do rozkładu normalnego poprzez procedurę standaryzacji zmiennej X do Z. Czasami zamiast Z stosuje się literę U ( unormowana ). Zmienna losowa standaryzowana wyraża się wzorem :

( 11 )

Procedura standaryzacji ma swoje uzasadnienie w tym, że tylko rozkład normalny standaryzowany jest stablicowany. Najczęściej korzysta się z tablic dystrybuanty .

Przykład 1.

Załóżmy , że mamy 100 pojedynczych wyników pomiarów pewnej wielkości. Efekty obserwacji pogrupowano , a wyniki w postaci szeregu rozdzielczego przedziałowego podano w poniższej tablicy. Zachodzi przypuszczenie , że rozkład liczby wszystkich pomiarów ma rozkład normalny .

Tab.1. Szereg rozdzielczy wyników pomiaru pewnej wielkości ( w mm)

Wyniki pomiarów	Liczba wyników
79-81	1	80	80
81-83	4	82	328
83-85	9	84	756
85-87	15	86	1 290
87-89	24	88	2 112
89-91	21	90	1 890
91-93	13	92	1 196
93-95	9	94	846
95-97	3	96	288
97-99	1	98	98
	100		8 884

Źródło : A. Zeliaś : Metody statystyczne . PWE, Warszawa 2000 s. 221-222.

Parametry rozkładu normalnego i szacujemy na podstawie wyników zamieszczonych w powyższej tablicy ( tab.1 ) i otrzymujemy : i . Pozostałe obliczenia potrzebne do ustalenia , czy jest to rozkład normalny, znajdują się w poniższej tablicy :

80	1	-2,73466	0,009606	0.59	0,41
82	4	-2,11596	0,042166	2,61	1,39
84	9	-1,49726	0,129518	8,01	0,99
86	15	-0,87855	0,270864	16,76	-1,76
88	24	-0,25985	0,385683	23,86	0,14
90	21	0,35885	0,373911	23,13	-2,73
92	13	0,97755	0,246809	15,27	-2,27
94	9	1,59625	0,112704	6,97	2,03
96	3	2,21495	0,034710	2,15	0,85
98	1	2,83365	0,007274	0,45	0,55
	100			99,8

Z uwagi na to , że różnice między rozkładem empirycznym a teoretycznym , czyli od i= 1,2,...,10 są względnie duże , to nie można przyjąć , że rozkład liczby wyników pomiarów nie jest rozkładem normalnym.