- •Матрицы и линейные операции над ними.
- •Сложение матриц
- •Умножение матрицы на число
- •Определение умножения матриц и свойства операции умножения.
- •Свойства произведения матриц
- •3. Степени квадратной матрицы
- •4.Транспонирование матриц
- •10.Основные свойства определителей
- •12.Обратная матрица
- •Свойства обратных матриц
- •14.Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •15.Ранг матрицы
- •Свойства ранга матрицы
- •16.Теорема о базисном миноре
- •18.Критерий совместности системы линейных уравнений
- •19.Однородные системы линейных уравнений
- •Свойства решений однородной системы линейных уравнений
- •22.Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом.
- •3*. Существование нейтрального элемента).
- •Простейшие следствия из аксиом.
- •23.Определение линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Свойства линейной зависимости и независимости.
- •Простейшие свойства линейной зависимости
- •24.Базис и координаты в линейном пространстве. Свойства координат векторов.
- •Свойства координат векторов
- •25.Матричный критерий линейной зависимости и независимости.
- •26.Определение размерности линейного пространства. Теорема о связи базиса и размерности. Следствия.
- •7. Как пример аффинного, евклидова и метрического пространств.
- •35.Определение матрицы перехода и её свойства.
- •Свойства матрицы перехода
- •38. Определение линейного оператора и его простейшие свойства.
- •39. Определение матрицы линейного оператора.
- •42.Операции над линейными операторами
- •50.Определение и свойства собственных векторов.
- •Свойства собственных векторов
- •§ 13. Правило нахождения собственных векторов
- •Правило нахождения присоединенных векторов
- •54. Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и вторая теорема о приводимости. Следствие.
- •60.Канонический вид квадратичной формы
- •61.Знакоопределенные квадратичные формы
- •62.Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм
- •63.Действительные евклидовы пространства
- •Простейшие следствия из аксиом
- •64.Комплексные евклидовы (унитарные) пространства
- •65. Неравенство Коши – Буняковского.
- •68.Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов
- •82.Ортогональные операторы в трехмерном евклидовом пространстве
- •83.Симметричные операторы в
- •84.Общее определение тензора
- •90.Основные определения и примеры
- •Примеры
- •Простейшие следствия из аксиом
82.Ортогональные операторы в трехмерном евклидовом пространстве
Известно, что всякий многочлен третьей степени с действительными коэффициентами имеет, по крайней мере, один действительный корень. Поэтому всякий линейный, в том числе и ортогональный оператор имеет, по крайней мере, одно собственное значение , причем . Пусть – единичный собственный вектор ортогонального оператора с собственным значением . Обозначим и рассмотрим . Очевидно, – двумерное евклидово пространство. Выберем произвольные векторы и . Тогда
– собственный ортогональность .
Обозначим такой линейный оператор, что
( отличается от только областью определения). Очевидно, – тоже ортогональный оператор. Как и в любом евклидовом пространстве, в пространстве можно выбрать ортонормированный базис . Тогда – ортонормированный базис пространства . Матрица оператора в этом базисе имеет блочно диагональный вид ,
где – матрица оператора в базисе . В силу того, что оператор ортогональный, матрица тоже ортогональная. Это значит, что в подходящем ортонормированном базисе она может быть одной из матриц:
.
Перечисляя всевозможные принципиально различные виды матриц в подходящем ортонормированном базисе пространства , получаем
а) .
, – тождественный оператор;
, – симметрия относительно оси с направлением вектора ;
, – симметрия относительно плоскости, перпендикулярной вектору ;
, – поворот вокруг оси с направлением вектора .
б) .
, – симметрия относительно плоскости, перпендикулярной вектору ;
, – симметрия относительно начала координат;
, – симметрия относительно оси с направлением вектора ;
, – композиция поворота вокруг оси с направлением вектора и симметрии относительно плоскости, перпендикулярной этому же вектору.
Таким образом, все ортогональные операторы в трехмерном евклидовом пространстве – это: тождественный; симметрия относительно плоскости; симметрия относительно оси; симметрия относительно начала координат; поворот вокруг оси и композиция поворота вокруг оси и симметрии относительно плоскости, перпендикулярной этой же оси.
83.Симметричные операторы в
Как было доказано в § 3, для любого симметричного оператора в существует ортонормированный базис, в котором матрица оператора имеет диагональный вид. Перечислим все принципиально возможные различные случаи.
– тождественный оператор;
– симметрия относительно оси;
– симметрия относительно плоскости;
– симметрия относительно начала координат;
(перечисленные операторы одновременно являются и ортогональными);
– нулевой оператор;
– проектирование на ось с направлением вектора ;
– проектирование на плоскость, перпендикулярную вектору ;
– растяжение при и сжатие при ;
– растяжение от оси при и сжатие к оси при ;
– растяжение вдоль оси при и сжатие вдоль оси при
.
Рассмотрим теперь некоторую диагональную матрицу
,
в которой, например, . Тогда
,
т. е. оператор, заданный матрицей , есть композиция растяжений (или сжатий) вдоль трех взаимно перпендикулярных осей и симметрии относительно оси. Любая диагональная матрица может быть представлена в виде произведения перечисленных выше десяти простейших матриц. Например, при положительных и
,
откуда вытекает, что оператор с такой матрицей есть композиция двух растяжений вдоль осей, проектирования на плоскость и симметрии относительно другой плоскости.