Примеры
Определение.
Пусть
и
– группы. Отображение
называется изоморфизмом групп, если
оно взаимно однозначное и сохраняет
групповую операцию, т. е. если
.
Например,
следующие группы изоморфны:
,
,
,
.
Напоминаем, что в математике изоморфные
объекты не различаются, поэтому матричные
группы и соответствующие группы
операторов обозначаются одинаково, а
волну для их различения мы ставили
временно. О какой именно из групп идет
речь – матричной или операторной –
должно быть понятно из контекста.
Приведем
еще один интересный пример изоморфизма.
Пусть
– аддитивная
группа, а
– мультипликативная.
Рассмотрим следующее отображение:
:
положим
.
Так как
единственное
такое, что
,
то
– взаимно
однозначное. Кроме того,
, значит, f –
изоморфизм.
Таким образом, аддитивная группа
изоморфна мультипликативной группе
.
Простейшие следствия из аксиом
1º.В каждой группе существует единственный нейтральный элемент.
2º.В группе каждый элемент имеет единственный обратный.
3º.
каждое из уравнений
и
в группе G
имеет единственное решение.