Свойства решений однородной системы линейных уравнений

1°. Сумма решений однородной системы также является ее решением.

2°. Если решение однородной системы умножить на число, то также получим ее решение.

3°. При условии во множестве всех решений однородной системы линейных уравнений существует линейно независимая система, состоящая из решений, которая называется фундаментальной системой решений этой однородной системы.

4°. Каждое решение однородной системы может быть представлено в виде линейной комбинации решений ее фундаментальной системы.

Определение. Множество всех решений системы линейных уравнений, выраженное через параметры (свободные неизвестные), называется общим решением системы линейных уравнений. Каждое решение системы называется ее частным решением.

22.Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом.

Определение. Линейным (векторным) пространством над полем Р называется множество Vэлементов произвольной природы, в котором заданы две операции: внутренняя – сложение, и внешняя – умножение на числа из Р, причем эти операции удовлетворяют следующим аксиомам.

1*. – коммутативность сложения.

2*. – ассоциативность сложения.

3*. Существование нейтрального элемента).

4*. – существование противоположного элемента.

5*. .

6*. .

7*. .

8*. .

Если P = R, то линейное пространство называется действительным, если Р = С, то комплексным.

Простейшие следствия из аксиом.

Линейное пространство впредь будем обозначать буквой V.

1º. В линейном пространстве существует единственный нейтральный элемент.

2º. В линейном пространстве, каждый элемент имеет единственный противоположный.

3º.

Замечание. При доказательстве следствий можно использовать либо аксиомы, либо уже доказанные следствия.

4º.

5º.

6º. В линейном пространстве из равенства вытекает: либо , либо .

23.Определение линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Свойства линейной зависимости и независимости.

Определение. Система элементов

(3.1)

линейного пространства над полем Р называется линейно зависимой, если существуют числа из поля Р, не все равные 0, такие что

. (3.2)

Система (3.1) называется линейно независимой, если равенство (3.2) выполняется только в том случае, когда

, (3.3)

т. е. когда из равенства (3.2) вытекает (3.3).

Простейшие свойства линейной зависимости

1º. Система, содержащая нейтральный элемент, линейно зависима.

2º. Система, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

Следствие. Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.

3º. Критерий линейной зависимости. Для того чтобы система векторов была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы один из векторов можно было представить в виде линейной комбинации остальных.

4º. Пусть система

(3.15)

линейно независима, а система

– (3.16)

линейно зависима. Тогда можно представить в виде линейной комбинации элементов системы (3.15).

5º. Для того чтобы система из одного элемента была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы он был нулевым.

Следующие свойства формулируем для пространства свободных векторов.

6º. Для того чтобы два вектора были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарными.

7º. Для того чтобы три вектора были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарными.