10.Основные свойства определителей

1º. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых в этой строке записано первое слагаемое, во втором – второе, а все остальные строки (столбцы) этих двух определителей совпадают с соответствующими строками (столбцами) исходного определителя.

2º. Если в определителе все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на число, то определитель умножится на это число (общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя).

Первое и второе свойства носят название линейности определителя.

3º. Если определитель содержит строку или столбец, полностью состоящий из нулей, то он равен нулю.

Доказательство вытекает из 2-го свойства.

4º. Если определитель содержит две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

5º. Если определитель содержит две пропорциональные строки (столбца), то он равен нулю.

Доказательство вытекает из второго и четвертого свойств.

6º (основное свойство определителей). Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить другую его строку (столбец), умноженную на число, то определитель при этом не изменится.

Следствие. Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить линейную комбинацию других его строк (столбцов), то определитель при этом не изменится.

7º. Определитель матрицы, комплексно сопряженной данной, равен числу, комплексно сопряженному ее определителю.

Доказательство легко проводится методом математической индукции, используя разложение, например, по первой строке.

8º. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей, т. е. .

В заключение параграфа сформулируем

Определение. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае квадратная матрица называется вырожденной.

12.Обратная матрица

Определение. Квадратная матрица называется обратной к квадратной матрице А, если

. (1.18)

Свойства обратных матриц

1°. Если матрица А имеет обратную, то А^–1 тоже имеет обратную, причем (А^–1)^–1 = А.

2°. Если матрица А имеет обратную и , то матрица αА также имеет обратную, причем (αА)^–1 = (1/α)А^–1.

3°. Если матрица А имеет обратную, то также имеет обратную, причем .

4°. Если матрицы А и В одного порядка и имеют обратные, то имеет обратную и их произведение, причем (АВ)^–1 = В^–1А^–1.

Остальные свойства вы без труда докажете самостоятельно.

Теорема 1.6 (существования и единственности). Для любой невырожденной квадратной матрицы А существует единственная ей обратная

где – алгебраическое дополнение к элементу матрицы .

14.Правило Крамера решения систем линейных уравнений

Определения. Системой линейных уравнений называется система уравнений вида

(2.1)

где – известные числа; – неизвестные; . Решением системы (2.1) называется упорядоченный набор чисел , который при подстановке в каждое из уравнений системы обращает его в верное равенство. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Введем следующие обозначения:

– матрица системы, Ã= –

расширенная матрица, – столбец неизвестных, – столбец свободных членов.

Матричными уравнениями называются уравнения вида АХ = В, ХА = = В, АХВ = С, где A, B, C – известные матрицы; Х – искомая.

Матрица называется решением матричного уравнения, если при подстановке в это уравнение она обращает его в верное равенство.

Теорема 2.1 (правило Крамера). Если в системе линейных уравнений число уравнений равно числу неизвестных и определитель системы , то эта система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера

, (2.3)

где – определитель, полученный из ∆ заменой j-ого столбца на столбец свободных членов.