- •Матрицы и линейные операции над ними.
- •Сложение матриц
- •Умножение матрицы на число
- •Определение умножения матриц и свойства операции умножения.
- •Свойства произведения матриц
- •3. Степени квадратной матрицы
- •4.Транспонирование матриц
- •10.Основные свойства определителей
- •12.Обратная матрица
- •Свойства обратных матриц
- •14.Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •15.Ранг матрицы
- •Свойства ранга матрицы
- •16.Теорема о базисном миноре
- •18.Критерий совместности системы линейных уравнений
- •19.Однородные системы линейных уравнений
- •Свойства решений однородной системы линейных уравнений
- •22.Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом.
- •3*. Существование нейтрального элемента).
- •Простейшие следствия из аксиом.
- •23.Определение линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Свойства линейной зависимости и независимости.
- •Простейшие свойства линейной зависимости
- •24.Базис и координаты в линейном пространстве. Свойства координат векторов.
- •Свойства координат векторов
- •25.Матричный критерий линейной зависимости и независимости.
- •26.Определение размерности линейного пространства. Теорема о связи базиса и размерности. Следствия.
- •7. Как пример аффинного, евклидова и метрического пространств.
- •35.Определение матрицы перехода и её свойства.
- •Свойства матрицы перехода
- •38. Определение линейного оператора и его простейшие свойства.
- •39. Определение матрицы линейного оператора.
- •42.Операции над линейными операторами
- •50.Определение и свойства собственных векторов.
- •Свойства собственных векторов
- •§ 13. Правило нахождения собственных векторов
- •Правило нахождения присоединенных векторов
- •54. Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и вторая теорема о приводимости. Следствие.
- •60.Канонический вид квадратичной формы
- •61.Знакоопределенные квадратичные формы
- •62.Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм
- •63.Действительные евклидовы пространства
- •Простейшие следствия из аксиом
- •64.Комплексные евклидовы (унитарные) пространства
- •65. Неравенство Коши – Буняковского.
- •68.Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов
- •82.Ортогональные операторы в трехмерном евклидовом пространстве
- •83.Симметричные операторы в
- •84.Общее определение тензора
- •90.Основные определения и примеры
- •Примеры
- •Простейшие следствия из аксиом
38. Определение линейного оператора и его простейшие свойства.
Определение. Пусть и – линейные пространства над одним и тем же полем . Отображение называется линейным оператором, если оно удовлетворяет следующим условиям:
1*.
2*.
Следствие. При линейном операторе образ линейной комбинации векторов равен такой же линейной комбинации их образов, т. е. если – линейный оператор, то :
(4.3)
1º. Линейный оператор переводит нейтральный элемент пространства в нейтральный элемент пространства .
2º. При линейном операторе линейно зависимые векторы пространства переходят в линейно зависимые векторы пространства
39. Определение матрицы линейного оператора.
Пусть в линейном пространстве над полем задан базис
(4.8)
и пусть – линейный оператор (читается так: в себя). Построим систему векторов
( ). (4.9)
Каждый из векторов системы (4.9) можно разложить по базису (4.8):
(4.10)
Сокращенно система (4.10) записывается одним равенством:
. (4.11)
Расположим числа в матрицуА по нашей договоренности: верхний индекс обозначает номер строки, а нижний – номер столбца:
Заметим, что столбцы полученной матрицыА являются координатными столбцами образов векторов базиса (4.8) в том же базисе. Обозначим
[ ] = .
Равенство (4.11) можно переписать и так: , откуда, руководствуясь правилом цепочки, (4.11) записываем в матричном виде:
. (4.12)
Матрицей линейного оператора в некотором базисе называется матрицаА, столбцами которой являются координатные столбцы образов базисных векторов в том же базисе. Это матрица , элементы которой удовлетворяют системе равенств (4.10) или (4.11), а сама матрица удовлетворяет матричному равенству (4.12).
42.Операции над линейными операторами
Определения. Пусть и – линейные пространства над одним и тем же полем .
Суммой линейных операторов и называется отображение такое, что : .
Произведением линейного оператора на число называется отображение такое, что : .
Произведением линейных операторов и называется отображение такое, что : (т. е. произведение линейных операторов – это просто произведение или композиция отображений).
Теорема 4.3. Сумма линейных операторов, произведение линейного оператора на число и произведение линейных операторов также являются линейными операторами. При этом, если , А и В – матрицы линейных операторов f и g соответственно в некотором базисе пространства , то матрицы операторов , и gf в том же базисе совпадают соответственно с матрицами А + В, αА и ВА.