24.Базис и координаты в линейном пространстве. Свойства координат векторов.

Определение.Базисом линейного пространства Vнад полем Р называется упорядоченная система

(3.18)

элементов этого пространства, удовлетворяющая следующим условиям:

1) , такие, что

(3.19)

2) система (3.18) линейно независима.

Если система (3.18) удовлетворяет только одному первому условию, то она называется системой образующих линейного пространства V. Таким образом, базис линейного пространства – это его линейно независимая система образующих.

Числа в равенстве (3.19) называются координатами вектора в базисе (3.18), а само равенство (3.19) – разложением вектора по базису (3.18). Таким образом, координаты вектора в данном базисе – это коэффициенты в разложении этого вектора по базису.

Свойства координат векторов

1º. Если все координаты вектора в некотором базисе равны нулю, то этот вектор – нулевой.

2º. Все координаты нулевого вектора в любом из базисов равны нулю.

3º. Координаты вектора в данном базисе определяются однозначно.

4º. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются.

5º. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Свойство доказывается точно так же, как и предыдущее, это вы можете сделать самостоятельно.

Следствие. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же (с такими же коэффициентами) линейным комбинациям соответствующих координат слагаемых, т. е. если и то

25.Матричный критерий линейной зависимости и независимости.

Пусть в линейном пространстве V задан некоторый базис, тогда каждый вектор можно разложить по этому базису.

Координатным столбцом вектора в заданном базисе будем называть столбец , составленный из координат вектора в этом базисе.

Лемма 3.1.Для того чтобы векторы были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы их координатные столбцы в некотором базисе были линейно зависимыми.

Теорема 3.1 (матричный критерий). Для того чтобы система векторов была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов в некотором базисе, был меньше количества векторов.

Для того чтобы система векторов была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, был равен их количеству.

Доказательство вытекает из леммы 3.1 и теоремы 2.4.

26.Определение размерности линейного пространства. Теорема о связи базиса и размерности. Следствия.

Определение. Число n называется размерностью линейного пространства V, а само пространство V называется n-мерным, если в V существует линейно независимая система из n векторов, а любая система из (n+ 1)-го вектора линейно зависима. Размерность пространства по определению считается равной нулю.

Следствие. В n-мерном пространстве любая система из m векторов при m>n линейно зависима.

Размерность линейного пространства V сокращенно обозначается . Если , то пространство будем обозначать . Линейные n-мерные пространства называются конечномерными.

Определение. Линейное пространство V называется бесконечномерным, если в V найдется линейно независимая система из n векторов.

Теорема 3.2. Для того чтобы линейное пространство было n-мерным, необходимо и достаточно, чтобы в нем существовал базис, состоящий из n векторов.

Замечание. При доказательстве необходимости мы одновременно показали, что в n-мерном пространстве любая линейно независимая система из n векторов является базисом.

Следствие. Любой базис конечномерного линейного пространства V содержит одинаковое количество векторов.

Теорема 3.3.В n-мерном линейном пространстве любую линейно независимую систему из m векторов при m<n можно дополнить до базиса.