Двух значений средней квадратичной скорости молекул.

На рис. 5. представлено изменение функции в зависимости от для двух значений параметра . Как видно, при некотором значении скорости функция F имеет максимум.

Решая элементарную задачу на отыскание максимума функции , находим величину наиболее вероятной скорости молекул

(35)

Движение молекул сказывается на макроскопических свойствах газа. Давление газа на стенку можно определить как силу, которая возникает в результате изменения нормальной к стенке составляющей суммарного количества движения молекул при их соударении со стенкой; при этом молекулу и стенку считают абсолютно упругими твердыми телами.

Расположим стенку по нормали к оси абсцисс (рис. 6.) и определим количество молекул, которое встретится с элементарной площадкой размером за единицу времени. Рассмотрим сначала молекулы со скоростью движения ; в течение одной секунды об эту площадку ударится половина от всего количества молекул данной скорости, заполняющих цилиндр с образующей и площадью основания (вторая половина молекул данной скорости в виду хаотичности их движения в этот же промежуток времени движется в противоположном направлении, т. е. удаляется от стенки). Это количество составляет

(36)

где - полное число молекул в единице объема, - значение функции, соответствующее скорости , и - объем элементарного цилиндра, - элемент пространства скоростей.

Рис. 6. К определению числа молекул, встречающихся со

Стенкой за единицу времени.

Формулу для определения величины давления:

или

,

где - средняя квадратичная скорость движения молекул в направлении нормали к стенке. Так как при хаотическом движении все направления равнозначны

то давление газа на стенку равно

(37)

или в соответствии с (35)

.

Так как было принято, что импульс ударяющихся о стенку молекул равен импульсу отраженных молекул, то полученная величина давления складывается из двух равных частей: давления ударяющихся и давления отраженных молекул

где

.

Из (37) получаем выражение для средней квадратичной скорости движения молекул

(38)

Сравнивая (38) с известным выражением для скорости звука в газе

можем связать среднюю квадратичную скорость молекул со скоростью звука

(39)

§ 6. Давление и напряжение трения при свободно-молекулярном обтекании твердого тела

При изучении свободно-молекулярного потока газа следует учитывать то, что наряду с

хаотическим движением молекул имеется упорядоченное перемещение конечных масс газа.

В первых работах Энштейна и Смолуховского, посвященных свободно-молекулярному течению газа около твердого тела, предполагалось, что скорость упорядоченного движения газа мала по сравнению со средней скоростью хаотического движения молекул. Мы не станем пользоваться этим ограничением и приведем решение задачи для произвольного значения числа Маха в набегающем на тело газовом потоке. Как показал Цзян, такое общее решение имеет достаточно простой вид.

Обтекание тела разреженным газом целесообразно рассматривать в прямоугольной системе координат, так как при этом удобно группируются одноименные составляющие скоростей хаотического и упорядоченного движении.

Если газ сильно разрежен, то столкновения молекул между собой и с поверхностью тела настолько редки, что реэмитируемые поверхностью молекулы практически не возмущают набегающий на тело невозмущенный поток газа и не нарушают максвелловского распределения хаотических скоростей ( ) молекул в этом газе. Функция распределения Максвелла может быть представлена в виде

(40)

Если упорядоченное движение газа происходит со скоростью

(41)

то полные скорости молекул соответственно равны

(42)

Расположим прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось х была перпендикулярна к элементу поверхности тела (рис. 7.), и определим силу давления движущегося газа на площадку .

Рис. 7. К определению силы