§ 3. Течение газа со скольжением в трубе

Для установления закономерностей ламинарного течения газа со скольжением в трубе круглого сечения следует прежде всего составить баланс сил, приложенных к цилиндрическому жидкому элементу с текущим радиусом и длиной (рис. 3)

(13)

где - напряжение трения на боковой поверхности элемента, - разность давлений на его торцы.

Рис. 3. Ламинарное течение газа со скольжением

В трубе.

Здесь мы пренебрегли малой величиной изменения количества движения в направлении оси трубы, которое вызывается изменением плотности газа, обусловленным в свою очередь изменением давления. Выражая напряжения трения по формуле Ньютона, из (13) имеем

(14)

Отсюда после интегрирования в граничных условиях, учитывающих скорость скольжения на стенке ( и ), получаем

На оси трубы (при ) имеем

Это дает следующую окончательную зависимость для безразмерного профиля скорости в трубе при скольжении:

(15)

Градиент скорости у стенки в таком течении

(16)

напряжение трения на стенке

(17)

Средняя скорость течения в трубе оказывается равной среднему арифметическому между скоростями на оси и у стенки

(18)

Уравнение (14) приводит к следующей формуле для определения падения давления по длине трубы:

или в безразмерном виде после замены

(19)

Исключим из полученных выражении скорость скольжения, для чего воспользуемся граничным условием (9), установленным в § 2

где . (9а)

Здесь перед производной взят знак минус для того, чтобы значение скорости па стенке было положительным ( ) при отрицательном значении (16) градиента скорости. Подставляя в (9а) значение производной из (16), находим

(20)

Используя формулы (18), (20), (15) и (19), приходим к следующим выражениям для максимальной скорости:

(21)

для скорости у стенки

(22)

для текущего значения скорости

(23)

для падения давления по длине трубы

(24)

или в соответствии с формулой Дарси

или (25)

В (25) число Рейнольдса определено по диаметру трубы и средней скорости течения

Из условия неразрывности следует, что вдоль трубы постоянного сечения плотность тока не изменяется ( ); если температура газа постоянна, то число Рейнольдса для всех сечений имеет одно и то же значение. В этом случае коэффициент трения по длине трубы изменяется только вследствие изменения величины свободного пробега молекулы, который зависит от местного значения плотности (индекс «0» соответствует начальному сечению трубы). Подставляя это значение в (24), получаем при

(26)

где

- значение коэффициента трения в начале трубы. Используя уравнение состсяния для идеального газа, из (26) получаем дифференциальное уравнение

которое после интегрирования с учетом граничного условия

при

и некоторых элементарных преобразований дает (при )

Отсюда следует

(27)

где - полная длина трубы. В этом решении один корень отброшен (с отрицательным знаком) как не отвечающий физическим условиям задачи ( при ). Если вычитаемое под корнем значительно меньше единицы, то справедливо приближенное решение, позволяющее определить падение давления в трубе без учета сжимаемости газа

. (28)

Подставим в (27) , а также на основании (5) значение

Имея и виду, что

получим при

(29)

где

.

Решение (28) справедливо лишь при . Зависимость коэффициента трения от числа Рейнольдса при различных значениях числа Маха представлена на рис. 4.

Рис. 4. Зависимость коэффициента трения при течении