Пример 3. Вычислить сумму ряда .

 Вычислим сначала радиус сходимости этого ряда. .

Это значит, что ряд сходится на интервале к некоторай сумме . На основании теоремы 6 имеем (геометрический ряд). Интегрируя это ровенство, имеем . Поскольку , то из равенства получаем, что . Таким образом,

. 

§6.8. Ряды Тейлора.

1°. Ряд Тейлора .

Пусть функция является бесконечно дифференцируемой на промежутке , т.е. имеет производные любога порядка. Тогда и имеет место формула Тейлора . (1)

def. Степенной ряд (2)

называется рядом Тейлора для бесконечно дифференцируемой на промежутке функции . Если , то ряд Тейлора называется рядом Маклорена.

Согласно формуле (1) ряд Тейлора (2) сходится к функции в точке , если и тольки если . (3)

( В этом случае последовательность частичных сумм ряда (2) стремится к функции .)

Замечание. Существование производных любого порядка недостаточно для того, чтобы ряд Тейлора сходился к той же функции, для которой он построен.

Пример 1. Разложить функцию в ряд Тейлора и найти его сумму.

 Понятно, что при функция бесконечно дифференцируемая. Вычислим её производную в точке :

.

Аналогично получаются производные . Таким образом, ряд Маклорена для функции является . 

Теорема 1. ( Достаточное условие сходимости ряда Тейлора) Пусть функция является бесконечно дифференцируемой на промежутке и существует число . Тогда ряд Тейлора (2) сходится на к .

□ Достаточно показать, что при выполнении условий теоремы выполняется условие (3). Запишемм остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа . Можно считать, что , а поэтому . Поскольку , то

. (4)

Как мы знаем, , поэтому . (5)

Из (4) и (5) следует, что . ■

Теорема 2. (о единственности разложения функции в степенной ряд) Если степенной ряд имеет радиус сходимости , то его коэффициенты выражаются по формуле .

□ Дифференцируя равенство

раз (это возможно на основании теоремы 6 §6.7.), получим

.

Взяв в последнем равенстве , получим . Эта означает, что степенной ряд на интервале его сходимости является рядом Тейлора для своей суммы. ■

2°. Ряды Маклорена для некаторых элементарных функций.

Для получения разложения основных элементарных функций по формуле Маклорена (6)

будем использовать наработки, сделанные нами в §5.2.

1) Экспонента и гиперболические функции.

Поскольку для функции , то на каждом интервале имеют место неравенства . Согласно следствиею из теоремы 1 ряд (6) сходится к функции на интервале , т.е. радиус сходимости этого ряда . Таким образом, имеет место формула

. (7)

Используя равенство (7) и формулы , получаем разложения функций и в ряд Маклорена:

.

2) Тригонометрические функции.

Поскольку функция является бесконечно дифференцируемой на всей числовой прямой, а для яе производных , то васоответствии со следствиеем из теоремы 1, ряд (6) для функции сходится к этой функции на всей числовой прямой, и при этом имеет место формула

.

Аналогично получается формула .

3) Логарифмическая функция.

В примере 3 §6.7. мы получили, что . Если в этом равенстве заменить на , то получим .

Согласно Теореме 2, это равенство даёт разложение функции по формуле Маклорена на интервале . При этом при получается тоже сходящийся ряд . Таким образом, имеем формулу

. (8)

При , В частностиполучается .

Замечание. Пользуясь признаком Даламбера, можно показать, что при ряд (8) расходится. При он тоже расходится как гармонический. Таким образом, хотя функция определена на промежутке , разложение (8) имеет место только при .