- •Глава 6. Ряды. §6.1. Свойства сходящихся рядов.
- •Пример 1. Докажем расходимость гармонического ряда, используя определение расходимости числового ряда.
- •Теорема 2. (сходимость линейной комбинации) Если ряды и – сходящиеся соответственно к суммам и , то ряд
- •Теорема 3. Ряд и каждый его остаток либо оба сходятся либо оба расходятся.
- •§6.2. Знакоположительные ряды.
- •Теорема 2. (Дирихле) Если произвольно переставить члены сходящегося знакоположительного ряда, то получится сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.
- •Пример 1. Исследуем на сходимость обобщённый гармонический ряд в зависимости от числового параметра .
- •Теорема 4. (Признак сравнения) Если , (6)
- •Пример 2.
- •Теорема 5. ( Предельный признак сравнения ) Пусть и . Тогда ряды и или оба сходятся, или оба расходятся.
- •Пример 3. Пользуясь следствием исследуем на сходимость ряды 1) , 2) .
- •Теорема 6. ( Признак Даламбера ) Если для ряда (1) выполняются условия и , то : 1) при ряд (1) сходится; 2) при ряд (1) расходится.
- •Пример 4.
- •Теорема 7. ( Признак Коши ) Если для ряда (1) выполняются условия и , то : 1) при ряд (1) сходится; 2) при ряд (1) расходится.
- •Пример 5. .
- •§6.3. Знакопеременные ряды.
- •Теорема 2. ( Абеля ) Ряд (1) является сходящимся, если сходится ряд , а последовательность является мнотонной и ограниченной.
- •Теорема 3. ( Признак Лейбница ) Если последовательность монотонно стремится к нулю, то ряд (8) является сходящимся, причём
- •Пример 2. Поскольку , то , а поэтому ряд сходится. §6.4. Абсолютная и условная сходимость ряда.
- •Теорема 1. Пусть ряд является знакопеременным. Если ряд сходится, то и ряд тоже сходится.
- •Теорема 2. При произвольной перестановке слагаемых абсалютно сходящегося знакопеременного ряда получается ряд, сходящийся абсолютно к сумме исходного ряда.
- •Пример. Ряд является условно сходящимся. Пусть – его сумма.
- •Пример 1. .
- •Пример 2. .
- •Пример 3. .
- •Пример 4.
- •Теорема 2. (Критерий Коши рсфр) Для того чтобы функциональный ряд был равномерно сходящимся на множестве , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:
- •Теорема 3. ( Признак Вейерштрасса рсфр) Если функциональный ряд имеет на множестве сходящуюся числовую мажоранту, то он равномерно сходится на .
- •1°. Непрерывность суммы ряда.
- •3°. Почленное дифференцирование.
- •1°.Радиус и интервал сходимости.
- •Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда .
- •Пример 2. .
- •2°.Свойства степенных рядов. Теорема 3. Степенной ряд сходится равномерно на каждом отрезке, который полностью содержится в его интервале сходимости.
- •Теорема 4. ( Непрерывность суммы степенного ряда ) Сумма степенного ряда является непрерывной функцией на его интервале сходимости.
- •Теорема 5. (Почленное интегрирование степенного ряда) Степенной ряд (1), сходящийся на интервале к сумме , можно почленно интегрировать на каждом отрезке , т.Е. Имеет место равенство
- •Теорема 6. (Почленное дифференцирование степенного ряда) На интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать сколько угодно раз. При этом имеет место равенство
- •Пример 3. Вычислить сумму ряда .
- •§6.8. Ряды Тейлора.
- •1°. Ряд Тейлора .
- •Пример 1. Разложить функцию в ряд Тейлора и найти его сумму.
- •Теорема 1. ( Достаточное условие сходимости ряда Тейлора) Пусть функция является бесконечно дифференцируемой на промежутке и существует число . Тогда ряд Тейлора (2) сходится на к .
- •Теорема 2. (о единственности разложения функции в степенной ряд) Если степенной ряд имеет радиус сходимости , то его коэффициенты выражаются по формуле .
- •4) Степенной бином.
Пример. Ряд является условно сходящимся. Пусть – его сумма.
Переставим слагаемые этого ряда следующим образом: выбираем по порядку сначала положительное слагаемое, затем два отрицательных и т. д. Получим ряд
Для вычисления суммы этого ряда сгруппируем его слагаемые по три:
Таким образом, после пераставления слагаемых изменилась сумма ряда.
Имеет место
Теорема 3. (Римана) Если ряд является условно сходящимся, то каким бы ни было число , можно так пераставить слагаемые ряда, что полученный ряд будет иметь сумму , или даже может стать расходящимся.
§6.5. Функциональные последовательности и функциональные ряды. Равномерная сходимость.
Если членами последовательности или ряда являются функции , определённые на множестве , то тогда говорят о функциональных последовательностях и функциональных рядах . При фиксированном значении имеем числовую последовательность и соответственно числовой ряд .
def. Если существуют функции и : , то говорят, что функциональная последовательность и функциональный ряд сходятся в точке . Множество называется областью сходимости функциональной последовательности или функционального ряда, а функции и , определённые на , называются соответственно предельной функцией функциональнай последовательности и суммой функционального ряда.
Таким образом, функциональная последовательность сходится на множестве к функции , если:
. (1)
Функциональный ряд сходится на множестве к функции , если последовательность частичных сумм , т.е.:
. (2))
Переход к пределу может существенно изменить свойства допредельных функций.
Пример 1. .
Здесь , . Предельная функция разрывная, хотя функции – непрерывные на .
Пример 2. .
Здесь . При . При , поэтому ряд сходится как геометрический, а его сумма равна .
Сумма ряда из непрерывных функций – разрывная.
Таким образом, вообще говоря, .
Тем не менее такое равенство верное при сходимости особого типа.
def. Говорят, что функциональная последовательность сходится равномерно к функции на множестве ( абозначают ), если
. (3)
.
Из определения сходимости и равномерной сходимости функциональной последовательности следует, что равномерно сходящаяся на функциональная последовательность является просто сходящейся на . Обратное утверждение, вообще говоря, неверное.
Пример 3. .
Поскольку , то – предельная функция.
Покажем, что 0. Понятно, что . Поскольку , то
, откуда , что означает равномерную сходимость последовательности на отрезке .
Пример 4.
Здесь тоже предельная функция . Покажем, что 0, т.е. .Возьмем . Откуда имеем – сходимость неравномерная.
Теорема 1. (Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности) Для того чтобы функциональная последовательность была равномерно сходящейся на множестве , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:
. (4)
□ (Необходимость) Пусть , т.е.имеет место условие (3)
.
Если , то тем более выполняется неравенство . Тогда
Это означает выполнение условия Коши ( – лемма).
(Достаточноть) Пусть для последовательности выполняется условие Коши (4). Если , то числовая последовательность соответствует условию Коши (4) и, согласно критерию Коши для числовой последовательности существует конечный . Таким образом, на множестве определена предельная функция для последовательности .
Если в неравенстве (4) зафиксировать и перейти к пределу при , (при этом ), то получим
,
т.е. последовательность равномерно сходится на . ■
def. Функциональный ряд называют равномерно сходящмся на (или РСФР) к сумме (абозначают ), если последовательность его частичных сумм является равномерно сходящейся на , т.е.
. (5)