Пример 4.

  , ряд сходится.

Отметим, что согласно необходимому условию сходимости имеем .◄

Теорема 7. ( Признак Коши ) Если для ряда (1) выполняются условия и , то : 1) при ряд (1) сходится; 2) при ряд (1) расходится.

□ 1) Пусть . Возьмём . Пусть . Поскольку , то для , откуда . Поскольку геометрический ряд сходится (здесь ), то согласно признаку сравнения ряд сходится.

2) Пусть . Выберем . Тогда , откуда . Пусть , тогда . Из расходимости ряда (здесь ) следует расходимость ряда (1). ■

Пример 5. .

  ряд сходится. ◄

Замечание 1. При признаки Даламбера и Коши не работают, т.е. ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. Например, 1) гармонический ряд расходится, хотя при этом , а также .

2) Для ряда рассмотрим последовательность частичных сумм . Ряд сходится, но при этом . ◄

Замечание 2. Признак Коши является более сильным, чем признак Даламбера.

Пример 6. .  Имеем (здесь последовательность ), ряд сходится по признаку Коши. В то же время , т.е. имеем расходящуюся последовательность: . Признак Даламбера не даёт возможности ответить на вопрос о сходимости ряда. ◄

def. Если , то ряд называется знакоотрицательным.

Замечание 3. Из равенства следует, что знакоотрицательный ряд является сходящимся, если и только если знакоположительный ряд сходится.

§6.3. Знакопеременные ряды.

Если ряд содержит бесконечно много как положительных, так и отрицательных слагаемых, то такой ряд называется знакопеременным.

Теорема 1. ( Признак Дирихле ) Ряд (1)

является сходящимся, если: 1) последовательность частичных сумм ряда является ограниченной, т.е. ; (2)

2) последовательность является монотонной; и 3) . (3)

□ Для ряда (1) введём следующие обозначения: ( – я частичная сумма), (соответствующая сумма из условия Коши). Учитывая, что при , преобразуем :

Таким образом, имеем (4)

Пусть последовательность является неубывающей. Тогда в равенстве (4) . Из равенства (4) следует, что

,

а из условия (2) имеем . Поэтому

. (5)

При этом . С учётом полученного неравенства неравенство (5) принимает вид

(6)

Отметим, что условие (6) остаётся верным также, если последовательность – убывающая. Условие (3) азначает, что

. (7)

Таким образом, из условий (6) и (7) имеем

, или .

В соответствии с М-Лемой для Критерия Коши ряд (1) является сходящимся. ■

Пример 1.

 При последовательность монотонно стремится к нулю. Остаётся доказать ограниченность последовательности .

Домножим обе части на . Имеем

откуда получается , т.е. последовательность ограниченная. Таким образом, ряд сходится при . А при имеем , т.е. ряд тоже сходится. 