- •Глава 6. Ряды. §6.1. Свойства сходящихся рядов.
- •Пример 1. Докажем расходимость гармонического ряда, используя определение расходимости числового ряда.
- •Теорема 2. (сходимость линейной комбинации) Если ряды и – сходящиеся соответственно к суммам и , то ряд
- •Теорема 3. Ряд и каждый его остаток либо оба сходятся либо оба расходятся.
- •§6.2. Знакоположительные ряды.
- •Теорема 2. (Дирихле) Если произвольно переставить члены сходящегося знакоположительного ряда, то получится сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.
- •Пример 1. Исследуем на сходимость обобщённый гармонический ряд в зависимости от числового параметра .
- •Теорема 4. (Признак сравнения) Если , (6)
- •Пример 2.
- •Теорема 5. ( Предельный признак сравнения ) Пусть и . Тогда ряды и или оба сходятся, или оба расходятся.
- •Пример 3. Пользуясь следствием исследуем на сходимость ряды 1) , 2) .
- •Теорема 6. ( Признак Даламбера ) Если для ряда (1) выполняются условия и , то : 1) при ряд (1) сходится; 2) при ряд (1) расходится.
- •Пример 4.
- •Теорема 7. ( Признак Коши ) Если для ряда (1) выполняются условия и , то : 1) при ряд (1) сходится; 2) при ряд (1) расходится.
- •Пример 5. .
- •§6.3. Знакопеременные ряды.
- •Теорема 2. ( Абеля ) Ряд (1) является сходящимся, если сходится ряд , а последовательность является мнотонной и ограниченной.
- •Теорема 3. ( Признак Лейбница ) Если последовательность монотонно стремится к нулю, то ряд (8) является сходящимся, причём
- •Пример 2. Поскольку , то , а поэтому ряд сходится. §6.4. Абсолютная и условная сходимость ряда.
- •Теорема 1. Пусть ряд является знакопеременным. Если ряд сходится, то и ряд тоже сходится.
- •Теорема 2. При произвольной перестановке слагаемых абсалютно сходящегося знакопеременного ряда получается ряд, сходящийся абсолютно к сумме исходного ряда.
- •Пример. Ряд является условно сходящимся. Пусть – его сумма.
- •Пример 1. .
- •Пример 2. .
- •Пример 3. .
- •Пример 4.
- •Теорема 2. (Критерий Коши рсфр) Для того чтобы функциональный ряд был равномерно сходящимся на множестве , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:
- •Теорема 3. ( Признак Вейерштрасса рсфр) Если функциональный ряд имеет на множестве сходящуюся числовую мажоранту, то он равномерно сходится на .
- •1°. Непрерывность суммы ряда.
- •3°. Почленное дифференцирование.
- •1°.Радиус и интервал сходимости.
- •Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда .
- •Пример 2. .
- •2°.Свойства степенных рядов. Теорема 3. Степенной ряд сходится равномерно на каждом отрезке, который полностью содержится в его интервале сходимости.
- •Теорема 4. ( Непрерывность суммы степенного ряда ) Сумма степенного ряда является непрерывной функцией на его интервале сходимости.
- •Теорема 5. (Почленное интегрирование степенного ряда) Степенной ряд (1), сходящийся на интервале к сумме , можно почленно интегрировать на каждом отрезке , т.Е. Имеет место равенство
- •Теорема 6. (Почленное дифференцирование степенного ряда) На интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать сколько угодно раз. При этом имеет место равенство
- •Пример 3. Вычислить сумму ряда .
- •§6.8. Ряды Тейлора.
- •1°. Ряд Тейлора .
- •Пример 1. Разложить функцию в ряд Тейлора и найти его сумму.
- •Теорема 1. ( Достаточное условие сходимости ряда Тейлора) Пусть функция является бесконечно дифференцируемой на промежутке и существует число . Тогда ряд Тейлора (2) сходится на к .
- •Теорема 2. (о единственности разложения функции в степенной ряд) Если степенной ряд имеет радиус сходимости , то его коэффициенты выражаются по формуле .
- •4) Степенной бином.
2°.Свойства степенных рядов. Теорема 3. Степенной ряд сходится равномерно на каждом отрезке, который полностью содержится в его интервале сходимости.
□ Пусть , где – радиус сходимости ряда (1). Выберем отрезок такой, что . Докажем, что ряд (1) равномерно сходится на отрезке , откуда будет следовать его равномерная сходимость на отрезке . Для этого возьмем произвольную точку . Поскольку , то числовой ряд сходится абсолютно. Если взять , то , а поэтому в соответствии признаком Вейерштрасса ряд (1) сходится равномерно на , а значит, и на . ■
Теорема 4. ( Непрерывность суммы степенного ряда ) Сумма степенного ряда является непрерывной функцией на его интервале сходимости.
□ Пусть – радиус сходимости степенного ряда (1). Возьмем . Выберем далее отрезок : . На основании теоремы 3 ряд (1) равномерно сходится на . Поскольку члены ряда (1) – непрерывные функции, то, по Теореме 1 (Стокса-Зайдэля §6.6.) сумма ряда (1) является непрерывной функцией на отрезке , а по причине произвольности точки также на интервале . ■
Теорема 5. (Почленное интегрирование степенного ряда) Степенной ряд (1), сходящийся на интервале к сумме , можно почленно интегрировать на каждом отрезке , т.Е. Имеет место равенство
, (7)
причём последний ряд имеет тот же самый интервал сходимости .
□ Возьмём произвольное значение . Поскольку отрезок , то, в соответствии с Теоремой 3, ряд (1) равномерно сходится на отрезке . Тогда по Теореме 2 §6.6. о почленном интегрировании РСФР ряд (1) можно почленно интегрировать на отрезке , т.е. имеют место равенства (7).
Если – радиус сходимости ряда (1), то . Вычислим радиус сходимости ряда из (7). Имеем .■
Теорема 6. (Почленное дифференцирование степенного ряда) На интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать сколько угодно раз. При этом имеет место равенство
, (8)
причём последний ряд имеет тот же самый интервал сходимости .
□ Покажем, что степенной ряд , (9)
полученный из ряда (1) почленным дифференцированием, имеет тот же интервал сходимости , что и ряд (1). Действительно,
.
Отсюда, в соответствии с формулой Коши (6), следует, что ряды (1) и (9) имеют одинаковые радиусы сходимости, а тем самым одинаковые интервалы сходимости.
Пусть – произвольная точка из интервала сходимости ряда (1). Выберем отрезок таким образом, чтобы . По теореме 3 ряд (9) сходится равномерно на отрезке , и, согласно Теореме 3 §6.6. о почленном дифференцировании РСФР ряд (1) можно почленно дифференцировать на отрезке и, в частности, в точке . Из произвольности точки следует, что ряд (1) можно почленно дифференцировать на интервале сходимости.
Согласно доказанному, степенной ряд (9) снова можно почленно дифференцировать. Повторяя многократно эти рассуждения, приходим к выводу, что степенной ряд (1) можно дифференцировать почленно любое количество раз на интервале сходимости. ■