- •Глава 6. Ряды. §6.1. Свойства сходящихся рядов.
- •Пример 1. Докажем расходимость гармонического ряда, используя определение расходимости числового ряда.
- •Теорема 2. (сходимость линейной комбинации) Если ряды и – сходящиеся соответственно к суммам и , то ряд
- •Теорема 3. Ряд и каждый его остаток либо оба сходятся либо оба расходятся.
- •§6.2. Знакоположительные ряды.
- •Теорема 2. (Дирихле) Если произвольно переставить члены сходящегося знакоположительного ряда, то получится сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.
- •Пример 1. Исследуем на сходимость обобщённый гармонический ряд в зависимости от числового параметра .
- •Теорема 4. (Признак сравнения) Если , (6)
- •Пример 2.
- •Теорема 5. ( Предельный признак сравнения ) Пусть и . Тогда ряды и или оба сходятся, или оба расходятся.
- •Пример 3. Пользуясь следствием исследуем на сходимость ряды 1) , 2) .
- •Теорема 6. ( Признак Даламбера ) Если для ряда (1) выполняются условия и , то : 1) при ряд (1) сходится; 2) при ряд (1) расходится.
- •Пример 4.
- •Теорема 7. ( Признак Коши ) Если для ряда (1) выполняются условия и , то : 1) при ряд (1) сходится; 2) при ряд (1) расходится.
- •Пример 5. .
- •§6.3. Знакопеременные ряды.
- •Теорема 2. ( Абеля ) Ряд (1) является сходящимся, если сходится ряд , а последовательность является мнотонной и ограниченной.
- •Теорема 3. ( Признак Лейбница ) Если последовательность монотонно стремится к нулю, то ряд (8) является сходящимся, причём
- •Пример 2. Поскольку , то , а поэтому ряд сходится. §6.4. Абсолютная и условная сходимость ряда.
- •Теорема 1. Пусть ряд является знакопеременным. Если ряд сходится, то и ряд тоже сходится.
- •Теорема 2. При произвольной перестановке слагаемых абсалютно сходящегося знакопеременного ряда получается ряд, сходящийся абсолютно к сумме исходного ряда.
- •Пример. Ряд является условно сходящимся. Пусть – его сумма.
- •Пример 1. .
- •Пример 2. .
- •Пример 3. .
- •Пример 4.
- •Теорема 2. (Критерий Коши рсфр) Для того чтобы функциональный ряд был равномерно сходящимся на множестве , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:
- •Теорема 3. ( Признак Вейерштрасса рсфр) Если функциональный ряд имеет на множестве сходящуюся числовую мажоранту, то он равномерно сходится на .
- •1°. Непрерывность суммы ряда.
- •3°. Почленное дифференцирование.
- •1°.Радиус и интервал сходимости.
- •Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда .
- •Пример 2. .
- •2°.Свойства степенных рядов. Теорема 3. Степенной ряд сходится равномерно на каждом отрезке, который полностью содержится в его интервале сходимости.
- •Теорема 4. ( Непрерывность суммы степенного ряда ) Сумма степенного ряда является непрерывной функцией на его интервале сходимости.
- •Теорема 5. (Почленное интегрирование степенного ряда) Степенной ряд (1), сходящийся на интервале к сумме , можно почленно интегрировать на каждом отрезке , т.Е. Имеет место равенство
- •Теорема 6. (Почленное дифференцирование степенного ряда) На интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать сколько угодно раз. При этом имеет место равенство
- •Пример 3. Вычислить сумму ряда .
- •§6.8. Ряды Тейлора.
- •1°. Ряд Тейлора .
- •Пример 1. Разложить функцию в ряд Тейлора и найти его сумму.
- •Теорема 1. ( Достаточное условие сходимости ряда Тейлора) Пусть функция является бесконечно дифференцируемой на промежутке и существует число . Тогда ряд Тейлора (2) сходится на к .
- •Теорема 2. (о единственности разложения функции в степенной ряд) Если степенной ряд имеет радиус сходимости , то его коэффициенты выражаются по формуле .
- •4) Степенной бином.
Пример 1. Исследуем на сходимость обобщённый гармонический ряд в зависимости от числового параметра .
Пусть . Функция и убывающая . Поскольку интеграл является сходящимся при и расходящимся при , то ряд сходится при и расходится при .
Если , то , т.е. не выполняется необходимое условие сходимости ряда.
Таким образом, обобщённый гармонический ряд сходится при и расходится при .◄
Теорема 4. (Признак сравнения) Если , (6)
то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .
□ 1) Поскольку ряд является сходящимся, то согласно теореме 1 последовательность его частичных сумм является ограниченной сверху, т.е. , откуда в силу (6) имеем . Последовательность частичных сумм ряда ограничена сверху, значит ряд сходится.
2) Если же ряд расходится, то ряд должен быть расходящимся, поскольку из его сходимости следует сходимость ряда . ■
Замечание1. Согласно следствию 1 из теоремы 3 §6.1. признак сравнения остаётся верным, если условие (6) выполняется – заданное число.
Замечание2. Теорема остаётся верной, если вместо неравенства (6) выполняется условие .
Пример 2.
Поскольку , а ряд является сходящимся (геометрический ряд, ), то в соответствии с признаком сравнения ряд – сходится.◄
Теорема 5. ( Предельный признак сравнения ) Пусть и . Тогда ряды и или оба сходятся, или оба расходятся.
□ Поскольку , то для .
Последнее двойное неравенство перепишем в виде двух неравенств . Если сходится, то из первого неравенства согласно замечанию 2 к признаку сравнения следует сходимость ряда . Если же сходится ряд , то из второго неравенства следует сходимость ряда .
Аналогично доказывается расходимость обоих рядов. ■
Замечание. Если предел , то для . Поэтому из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда . Если же , то рассуждения о сходимости или расходимости рядов следуют из условия .
Следствие. Если (т.е. ), то оба ряда или сходятся, или расходятся одновременно.
Пример 3. Пользуясь следствием исследуем на сходимость ряды 1) , 2) .
1) Поскольку , а геометрический ряд – сходится, то ряд сходится. 2) Поскольку , а гармонический ряд расходится, то ряд расходится. ◄
Теорема 6. ( Признак Даламбера ) Если для ряда (1) выполняются условия и , то : 1) при ряд (1) сходится; 2) при ряд (1) расходится.
□ 1) Пусть . Возьмём . Пусть . Поскольку , то для . Если , то . Перемножая эти неравенства, получим . Поскольку геометрический ряд сходится (здесь ), то согласно признаку сравнения ряд сходится.
2) Пусть . Тогда существует . Для
.
Это значит, что для последовательности , откуда , т.е. ряд (1) расходится (не выполняется необходимое условие сходимости). ■