Теорема 2. ( Абеля ) Ряд (1) является сходящимся, если сходится ряд , а последовательность является мнотонной и ограниченной.
□ Поскольку
ограниченная монотонная
последовательность является сходящейся,
то
, т.е.
последовательность
манатонно
стремится
к нулю.
Из
сходимости
ряда
следует
ограниченность
его
частичных
сумм
.
Таким образом, ряд
– сходится.
На основании
сходимости
рядов
и
из
равенства
делаем
вывод
о
сходимости
ряда
(1) как
суммы
двух сходящихся
рядав. ■
Часто встречаются частные случаи знакопеременного ряда.
def.
Ряд
называется знакачередующимся,
если каждые
два его
последовательные
члена
имеют
разные
знаки, т.е.
ряд
вида
.
(8)
Теорема 3. ( Признак Лейбница ) Если последовательность монотонно стремится к нулю, то ряд (8) является сходящимся, причём
.
(9)
□ Сходимость
ряда
(8) следует
из
признака
Дирихле, если взять
.
Пусть
является суммой
ряда
(8). Тогда
последовательность
как
подпоследовательность последовательности
.
Имеем
.
Поскольку
все
скобки
неотрицательные,
то
.
Переходя
к
пределу, имеем
,
т.е. сумма знакочередующегося ряда не
превосходит его первого члена.
Если же
рассмотреть
остаток
,
то, согласно
полученному,
он не
превышает
своего
первого
члена,
т.е.
.
■
Пример 2. Поскольку , то , а поэтому ряд сходится. §6.4. Абсолютная и условная сходимость ряда.
Если
рассмотреть сходящийся знакопеременный
ряд, то ряд, составленный из модулей его
членов может оказаться как сходящимся,
так и расходящимся. Например,
сходится по признаку Лейбница, а ряд
расходится
как гармонический. В то же время
сходится и ряд
также сходится.
Теорема 1. Пусть ряд является знакопеременным. Если ряд сходится, то и ряд тоже сходится.
□ Для сходящегося
ряда
выполняется условие Коши:
.
Поскольку
,
то для ряда
тоже выполняется условие Коши. Таким
образом, ряд
является сходящимся.
■
def. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящмся, если сходится ряд . Если знакопеременный ряд сходится , а ряд – расходится, то ряд называется условно сходящмся.
Например, ряд является условно сходящимся.
При исследоваии на абсолютную сходимость пользуются признаками сходимости знакоположительных рядов (признак сравнения, предельный признак сравнения, признаки Даламбера и Коши). Если же ряд является абсолютно расходящимся, то условную сходимость исследуют при помощи признаков сходимости знакопеременных рядов (признаки Дирихле, Абеля, Лейбница).
Как мы доказали выше (Теорема 2 (Дирихле )§6.2.) в знакоположительном ряда можно пераставлять произвольным образом слагаемые, не меняя его суммы. Аналагичное свойство имеют знакопеременные, но абсолютно сходящиеся ряды.
Теорема 2. При произвольной перестановке слагаемых абсалютно сходящегося знакопеременного ряда получается ряд, сходящийся абсолютно к сумме исходного ряда.
□ Пусть знакопеременный
ряд
является сходящимся
и
.
Поскольку
этот
ряд сходится абсолютно,
то пусть
.
Абозначим
через
ряд, который получается после
произвольной
перастановки
слагаемых
ряда
.
Ему
соответствует ряд
,
который получается из
знакоположительного
ряда
в
следствие
такой
же
перастановки
слагаемых.
Согласно
теоремы
Дирихле (Теорема
2 §6.2.)
(та же
сумма,
что и для ряда
).
Поскольку
ряд
сходится,
то ряд
абсолютно
сходится.
Пусть
.
Нам остаётся
доказать,
что
.
Для этого
рассмотрим
ряд
.
(1)
На основании теоремы о сумме сходящихся рядов имеем
.
Заметим,
что
,
т.е.ряд (1)
является знакоположительным.
Переставим
слагаемые
ряда
(1) таким же
образом,
как
переставляли
слагаемые
ряда
,
чтобы получить
ряд
.
В
итоге
получим
.
(2)
Ряд (2) является сходящимся (теорема Дирихле) и его сумма равна сумме ряда (1)
.
(3)
С другой стороны ряд (2) естьсумма сходящихся рядов и , а поэтому
.
(4)
Из
равенств
(3) и (4) имеем
,
откуда
.
■
Замечание Если знакопеременный ряд сходится условно, то пераставление его слагаемых приводит к ряда, который имеет другую сумму, или даже является расходящимся.