3°. Почленное дифференцирование.

Теорема 3. (О почленном дифференцировании РСФР) Если функции имеют непрерывные производные на отрезке , и ряд сходится на к функции , а ряд равномерно сходится на к функции , = , то , или .

□ Согласно теореме 2 равномерно сходящийся ряд можно почленно интегрировать на отрезке :

Таким образом, (10)

Поскольку функция непрерывна на , то по теореме Барроу – дифференцируемая функция. Дифференцируя равенство (10), имеем . ■

Для функциональных последовательностей имеют место аналогичные теоремы.

Теорема 4. Если члены последовательности непрерывны на отрезке , а сама последовательность равномерно сходится на , то её предельная функция тоже непрерывна на отрезке .

Теорема 5. Если члены последовательности непрерывны на отрезке , а сама последовательность равномерно сходится на к предельной функции , то

.

Теорема 6. Если функции имеют непрерывные производные на отрезке , и последовательность сходится на к функции , а последовательность равномерно сходится на , то – дифференцируемая на и последовательность имеет предельную функцию , т.е. .

§6.7. Степенные ряды .

1°.Радиус и интервал сходимости.

Функциональный ряд , где , – действительная независимая переменная, называется степенным рядом с центром в точке . Понятно, что этот ряд всегда сходится в точке . Если в этом ряду сделать замену переменной , то полученный при этом ряд , (1)

который будет далее объектом нашего исследования, тоже всегда сходится в точке . Может случиться, что эта точка является единственной точкой сходимости степенного ряда.

Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда .

При этот ряд является сходящимся. Если , то , т.е. можно использовать признак Даламбера. Имеем .

Это значит, что ряд сходится только при . 

В то же время существуют степенные ряды, которые сходятся на всей числовой прямой.

Пример 2. .

 При любом используем признак Даламбера

. Таким образом, ряд сходится при всех . 

Теорема 1. ( Абеля ) Если степенной ряд (1) сходится в некоторой точке , то он абсолютно сходится в каждой точке . Если же этот ряд расходится в некоторой точке , то он расходится в каждой точке .

□ 1) Пусть ряд (1) сходится в точке . Выберем произвольно . При этом получим . (2)

Поскольку числовой ряд сходится, то (необходимое условие сходимости), откуда следует ограниченность последовательности , т.е.

. (3)

Из неравенств (2) и (3) получим . (4)

Поскольку геометрический ряд при является сходящимся, то по признаку сравнения сходится ряд , т.е.ряд (2) сходится при всех .

2) Пусть ряд (1) расходится в точке . Тогда он должен расходиться в кождой точке , поскольку в противном случае, согласно доказанному выше, ряд (1) был бы сходящимся в точке . ■

Теорема 2. (Об интервале сходимости) Если ряд (1) сходится более чем в одной точке, но не на всей действительной прямой, то существует такое действительное число , что ряд (1) абсолютно сходится на интервале и расходится вне отрезка .

□ Пусть – область сходимости ряда (1). Поскольку является непустым и ограниченным сверху множеством (ряд сходится не на ), то существует . Покажем, что ряд (1) сходится на интервале . Пусть – произвольная точка интервала , т.е. . Согласно определению точной верхней границы . Поскольку ряд (1) сходится в точке , то по теореме Абеля он абсолютно сходится в точке . Таким образом, в каждой точке интервала ряд (1) абсолютно сходится.

Если же лежит вне отрезка , т.е. , то (согласно определению точной верхней границы), и поэтому ряд (1) расходится в точке . ■

def. Интервал , на котором ряд (1) сходится, а вне отрезка расходится, называется интервалом сходимости степенного ряда, а число – его радиусом сходимости.

Замечание 1. На границе интервала сходимости , т.е. в точках и , ряд (1) может как сходиться, так и расходиться.

Замечание 2. Если степенной ряд сходится на всей числовой прямой, то говорят, что радиус сходимости этого ряда , а если ряд сходится только в точке , то .

Замечание 3. Относительно ряда доказанная Теорема 2 приобретает следующее звучание: степенной ряд с центром в точке имеет интервал сходимости , где – радиус сходимости этого ряда, .

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда можно использовать прикзнаки Даламбера или Коши.

1) Формула Даламбера. Пусть существует конечный . Тогда

.

Согласно предельному признаку Даламбера ряд (1) сходится абсолютно, если , и расходится при . Таким образом, в точках сходимости выполняется неравенство , а в точктах расходимости . Отсюда получаем, что радиус сходимости равен , или . (5)

2) Формула Коши. Аналогично при помощи предельного признака Коши получается формула Коши для нахождения радиуса сходимости степенногоага ряда ( при условии существования соответствующего предела ):

. (6)

Случаи , или соответствуют значению .

Если же получается бясконечный предел , то это соответствует значению , что означает сходимость степенного ряда только в точке .