- •Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства (1).
- •Замена переменной в неопределенном интеграле (2).
- •1. Внесение под знак дифференциала
- •2. Замена переменной
- •Интегрирование по частям в неопределенном интеграле (3)
- •Разложение рациональной дроби на простейшие (4).
- •Интегрирование рациональных функций (5-6).
- •Интегрирование некоторых тригонометрических
- •Интегрирование некоторых тригонометрических
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от линейных иррациональностей, интегралы от дробно линейных иррациональностей (9).
- •1. Интегралы от линейных иррациональностей.
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от квадратичных иррациональностей (10)
- •Определенный интеграл и его свойства (11)
- •Свойства определенного интеграла.
- •Теорема о среднем (12)
- •Теорема о дифференцируемости интегралов по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница (13).
- •Замена переменной в определенном интеграле (14).
- •Интегрирование по частям в определенном интеграле (15).
- •Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формулы прямоугольников. Формула трапеций (16)
- •Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формула параболы (формула Симпсона) (17)
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей в декартовых координатах и областей заданных параметрически (18).
- •Вычисление площадей плоских областей:
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей заданных в полярной системе координат (19).
- •Применение определенного интеграла к вычислению объемов тел вращения (20).
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей тел вращения (21)
- •Физические приложения определенного интеграла работа, координаты центра масс плоской фигуры (22).
- •Длина дуги плоской кривой (23).
- •Несобственные интегралы первого рода (несобственные интегралы с бесконечными пределами) (24).
- •Свойства несобственных интегралов 1го рода.
- •Несобственные интегралы второго рода (несобственные интегралы от разрывных функций) (25).
- •Свойства несобственных интегралов 1го рода.
- •Комплексные числа (26).
- •Многочлены. Корни многочлена. Разложение многочлена на множители (28).
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения (29).
- •Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30).
- •Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (31)
- •3. Дифференциального уравнения первого порядка приводящейся к однородным:
- •Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32).
- •Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33).
- •Вынужденные колебания.
- •Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •Устойчивость решений дифференциальных уравнений по Ляпунову.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
где а1,…,an = const. Его решения могут быть найдены в два этапа:
Первый этап. Находят общее решение
Второй этап. Находят частное решение y* методом вариации произвольных постоянных, т.е. общее решение неоднородного дифференциального уравнения
однако в некоторых случаях частное решение у* можно найти по виду функции f(x). Рассмотрим на примере неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
где Pn(x) – многочлен n-ного порядка, a – действительное число.
а) если (а) 0 т.е. а ни одному корню характеристического уравнения то где Sn(x) – многочлен той же степени n.
б) если (а) = 0 т.е. а совпадает с одним из корней характеристического уравнения и имеет кратности (r=1 или 2) тогда далее поступать, как и пункте а).
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
, где - непрерывные функции переменной х или const.
Свойства:
(1). Если решения однородного дифференциального уравнения (2) то их линейная комбинация с произвольными числами , т. е. выражение также является решением дифференциального уравнения (2). Доказательство: Доказательство проведем для случая n=2, т. е. докажем что если у1 и у2 – решения дифференциального уравнения то также решения однородного дифференциального уравнения . Т. к. у1 и у2 – решения дифференциального уравнения то и . Покажем, что удовлетворяет также однородному дифференциальному уравнению т. е.
или
. Аналогично доказывается и в общем случае n>2.
Введем понятие линейно независимых и линейно зависимых функций и понятие вронскиана нескольких функций. Функции называются линейно независимыми на [a,b], если линейная комбинация , только если . Противном случае называется линейно зависимыми. В частности для n=2, у1 и у2 – линейно независимы если при линейно зависимы если при - линейно зависимые и если , любое действительное число то они линейно независимы.
Вронскиана функции называется определитель , в частности свойства вронскиан: - Если функции линейно зависимы на [a,b] то их вронскиана =0 на [a,b]: для n=2; и на отрезке [a,b].
Если функции - линейно независимы на отрезке [a,b], то их вронскиан на [a,b].
(2) Если - линейно независимые решения дифференциального уравнения то общее его решение у0 дается выражением , где - любые числа. Доказательство: Доказательство проведем для случая n=2, т. е. для дифференциального уравнения докажем что общее решения. (а) – решение дифференциального уравнения по свойству (1). (б) Докажем, что общее решение однородного дифференциального уравнения т. е. удовлетворяет произвольным начальным условиям т. е. отсюда следует эта система двух линейных неоднородных уравнений имеет единственное решение, если ее определитель , т. к. и - линейно независимы в точке х0, таким образом общая структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка имеет вид
, если линейно независимые решения.