- •Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства (1).
- •Замена переменной в неопределенном интеграле (2).
- •1. Внесение под знак дифференциала
- •2. Замена переменной
- •Интегрирование по частям в неопределенном интеграле (3)
- •Разложение рациональной дроби на простейшие (4).
- •Интегрирование рациональных функций (5-6).
- •Интегрирование некоторых тригонометрических
- •Интегрирование некоторых тригонометрических
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от линейных иррациональностей, интегралы от дробно линейных иррациональностей (9).
- •1. Интегралы от линейных иррациональностей.
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от квадратичных иррациональностей (10)
- •Определенный интеграл и его свойства (11)
- •Свойства определенного интеграла.
- •Теорема о среднем (12)
- •Теорема о дифференцируемости интегралов по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница (13).
- •Замена переменной в определенном интеграле (14).
- •Интегрирование по частям в определенном интеграле (15).
- •Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формулы прямоугольников. Формула трапеций (16)
- •Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формула параболы (формула Симпсона) (17)
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей в декартовых координатах и областей заданных параметрически (18).
- •Вычисление площадей плоских областей:
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей заданных в полярной системе координат (19).
- •Применение определенного интеграла к вычислению объемов тел вращения (20).
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей тел вращения (21)
- •Физические приложения определенного интеграла работа, координаты центра масс плоской фигуры (22).
- •Длина дуги плоской кривой (23).
- •Несобственные интегралы первого рода (несобственные интегралы с бесконечными пределами) (24).
- •Свойства несобственных интегралов 1го рода.
- •Несобственные интегралы второго рода (несобственные интегралы от разрывных функций) (25).
- •Свойства несобственных интегралов 1го рода.
- •Комплексные числа (26).
- •Многочлены. Корни многочлена. Разложение многочлена на множители (28).
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения (29).
- •Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30).
- •Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (31)
- •3. Дифференциального уравнения первого порядка приводящейся к однородным:
- •Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32).
- •Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33).
- •Вынужденные колебания.
- •Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •Устойчивость решений дифференциальных уравнений по Ляпунову.
Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от квадратичных иррациональностей (10)
Интегралы вида: , где R- рациональная дробь по и . Здесь
производим замену ( ):
а). a>0 и D>0 т. е. не имеет действительных корней, тогда: рационализируются т. е. сводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой :
т. е. рационализируются.
б. a>0 и D<0 т. е. имеет действительные корни. В этом случае и рационализируются интеграл подстановкой
т. е. рационализируется.
в. a<0 и D>0 тогда at2+D=α2-t2 рационализируются подстановкой: t=αcosZ и t=αsinZ
т. е. рационализируется.
Замечание: Кроме указанных тригонометрических подстановок могут использоваться и другие подстановки, а именно гиперболические.
а. a>0 и D>0 Используем подстановку получаем:
(т. к. )
б. a>0 и D<0 Используем подстановку получаем:
. В этом случае лучше всего делать тригонометрические подстановки: t=αcosZ и t=αsinZ
Замечание № 2: Кроме тригонометрических подстановок используют: используют подстановки Эллера (1,2,3 подстановки).
1 подстановка Эллера: Если a>0, то делают подстановку
2 подстановка Эллера: c>0, тогда
3 подстановка Эллера: Если имеет действительные корни α и β то делают подстановку или и находят x и dx.
Замечание № 3: Существуют и другие классы интегралов от рациональных функций которые не всегда рационализируется а выражение в виде специальных функций к ним относятся эллиптические интегралы.
Определенный интеграл и его свойства (11)
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a,b] разобьем отрезок [a,b] точками x0=a, x1 …, xn=b на n частичных отрезков [xi-1, xi], i=1,…,n, обозначим через длинна отрезка на каждом отрезков [xi-1, xi] выберем произвольно составим сумму и назовем интегральной суммой для функции f(x) на [a,b].
Площадь этой ступенчатой фигуры равна . Так как f(x)-непрерывная функция на отрезке [a,b] то она и ограничена на [a,b] следовательно она ограничена и на каждом отрезке [xi-1, xi] т.е. существует mi, Mi, что для i=1,…, n следовательно при >0, а следовательно ( нижняя интегральная сумма, верхняя интегральная сумма). Опр. Если существует предел интегральных сумм , когда то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] и образует .
Итак по определению и этот предел не зависит как от способа разбиения отрезка [a,b] точкой xi на частичные отрезки [xi-1, xi], так и от выбора точек в них.
частные случаи интегральной суммы . Численно при на [a,b] равен площади криволинейной трапеции ограниченной снизу осью абсцисс, сверху кривой f(x) с право кривой x=b, слева кривой x=b.
Геометрический смысл определенного интеграла – площадь кривой трапеции.