Применение определенного интеграла к вычислению площадей тел вращения (21)

Пусть кривая y=f(x) определена и дифференцируема на [a,b] вращается вокруг оси Ox, найдём площадь S поверхности этого тела вращения.

Отрезок [a,b] разбиваем точками x₀=a, x₁, x₂…x_n=b

где

Аналогично когда x=g(y) вращается вокруг оси Oy

Физические приложения определенного интеграла работа, координаты центра масс плоской фигуры (22).

а) Работа силы F(x) по перемещению материальной точки вдоль оси Ox

б) Масса кривой y=f(x) на [a,b] если - линейная плотность кривой, то

в) Статические моменты кривой относительно координатных осей.

г) Координаты центра тяжести кривой

Длина дуги плоской кривой (23).

а) кривая задана в декартовой системе координат уравнением и непрерывны на . Разбиваем отрезок т. на n частей. Обозначим

По теореме Пифагора , но или в дифференциальной форме

. Тогда

б) длина дуги плоской кривой, заданной параметрически

Пусть кривая задана уравнениями:

Тогда

При этом считаем, что функции и непрерывны на и

Примечание: если кривая - пространственная кривая, заданная уравнениями:

Длина дуги кривой в этом случае вычисляется по формуле

в) длина плоской кривой, заданной в полярной системе координат

Пусть задана уравнениями

, где

Подставляя эти значения в предыдущие выражение получим, что

Несобственные интегралы первого рода (несобственные интегралы с бесконечными пределами) (24).

Пусть непрерывна на . Рассмотрим определенный интеграл . Если существует предел , т.е. конечный, то этот предел называют несобственным интегралом первого рода и обозначают

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называют сходящимся, в противном случае- расходящимся. Аналогично, пусть непрерывна на , то если существует предел , то этот предел называется несобственным интегралом первого рода сходящимся (или расходящимся) и обозначают:

Наконец, если непрерывна на и существует предел

, то этот предел называется сходящимся несобственным интегралом первого рода.

Главное значение несобственного интеграла первого рода

-главное значение и понимается когда

Свойства несобственных интегралов 1го рода.

1. Если для любого , а сходится, то сходится и несобственный интеграл и при этом справедливо неравенство т. е. неравенство для функции можно интегрировать в смысле несобственного интеграла первого рода.

2. Если для любого а интеграл расходится, то расходится и интеграл от . Замечание: Свойства (1) и (2) позволяют делать оценки на несобственные интегралы первого рода, либо сверху либо снизу (первое свойство – сверху, второе свойство – снизу).

3. Если сходится то сходится и интеграл и при этом называется абсолютно сходящимся. Замечание: , Если же интеграл расходится, а интеграл сходится то он называется условно сходящимся. Замечание: Из выше приведенных утверждений следует что из расходимости не следует расходимость : он может быть как сходящимся, так и расходящимся. Свойства (1), (2) и (3) формулируются аналогично и для других несобственных интегралов первого рода с другими приделами.