Устойчивость решений дифференциальных уравнений по Ляпунову.
Рассмотрим
понятие устойчивости по Ляпунову для
системы дифференциальных уравнений:
1
;
;
;
Пусть x=x(t)
и y=y(t)
– частные решения системы 1 удовлетворяющие
начальные условия: 2 y(t=0)=y0;
x(t=0)=x0
Пусть
и
-
другие частные решения системы 1
удовлетворяющие начальным условиям:
3
и
.
Определение: решение x=x(t)
и y=y(t)
системы дифференциальных уравнений 1
с начальными условиями 2 называются
устойчивыми по Ляпунову при t
если для любого сколь угодно малого
существует
что для всех t>0
выполняются неравенства: 4
если справедливы неравенства: 5
Определение устойчивости по Ляпунову
говорит о том, что решение x(t),
y(t)
устойчиво при t
если при малых изменениях начальных
условий 5 будут малыми и отклонения
решений 4