Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30).
Дифференциальные
уравнения первого порядка можно
представить в дифференциальной форме
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
(4)
равносильное дифференциальному
уравнению (3).
Если в дифференциальном уравнении (3)
функцию
допускаем разделение переменных т. е.
ее можно представить в виде
,
то дифференциальное уравнение (3)
называется
дифференциальное уравнение первого
порядка с разделяющими переменные
- дифференциального уравнения с
разделенными переменными. Интегрируя
и получим общий интеграл:
.
Замечание:
Отдельно
исследовать случай f2(y)=0
и если
функция определяемая уравнение f2(y)=0
удовлетворяет дифференциальному
уравнению и входит в общий интеграл
при котором с,
то его включают в общий интеграл.
Замечание
2: Дифференциальное
уравнение (4)
может быть дифференцируемым уравнением
с разделяющими переменными если в
функции P(x,y)
и Q(x,y)
допускают разделение переменных т. е.
P(x,y)=P1(x)P2(y)
Q(x,y)=Q1(x)Q2(y)
следовательно
дифференциальное уравнение (4)
принимает
вид. P1(x)P2(y)dx+Q1(x)Q2(y)dy=0
проинтегрируем
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (31)
Функция
f(x,y)
называется
однородной функцией относительно
переменной x,y
n-го
порядка
если для любого λ,
f(λx,
λy)=
λnf(x,y).
Дифференциальное уравнение
называется однородным дифференциальным
уравнением если
однородная функция нулевого порядка,
т. е.
.
Для нахождения решения однородного
дифференциального уравнения делают
подстановку
или
отсюда находят
и подставляют в дифференциальное
уравнение получим:
- дифференциальное уравнение с
разделяющими переменными. Получаем
проинтегрируем пологая что
и исследуем отдельно. Примечание:
дифференциальное уравнение
является однородным дифференциальным
уравнением, если P(x,y)
и
Q(x,y)
однородные функции одного и того же
порядка.
3. Дифференциального уравнения первого порядка приводящейся к однородным:
Дифференциальное
уравнения первого порядка вида
приводятся либо к однородным
дифференциальным уравнениям, либо к
дифференциальным уравнениям с
разделяющими переменными. а.
При с=с1=0
это очевидно:
.
б. Пусть
тогда делают подстановку:
,
где
,
,
t
– новая переменная
,
тогда
или
,
потребуем чтобы
эта система линейных уравнений
относительно
неоднородна, она имеет единственное
решение если ее определитель
т.е.
тогда
- однородное дифференциальные уравнения
относительно функции U
находим его общий интеграл
,
а следовательно находим и решение
исходного дифференциального уравнения
.
с. Пусть
т. е.
или
отсюда
и следовательно мы можем записать
или
тогда
-
дифференциальное уравнение с
разделяющимися уравнениями.
Замечание:
д.у. вида
,
где
-непрерывная
функция, интегрируется также , как и
д.у., рассматриваемое в этом пункте.