Многочлены. Корни многочлена. Разложение многочлена на множители (28).

Функция вида , где Z комплексная пер-я ­– действит. Числа наз. Многочленом или рациональной функцией или полиномом.

Корнем многочлена f(z) называется такое значение z=z₀, при котором

Теорема Безу: При делении многочлена на разность , в остатке получается постоянная R.

Действительно, при делении многочлена на , частным будет многочлен степени , т.е. справедливо представление: Это выражение верно при любом . При получим , что и требовалось доказать.

Следствие : При делении многочлена на разность , где -корень многочлена , то он делится на без остатка.

Действительно, если - корень многочлена n-ой степени, т.е. , то

Основная теорема алгебры: Любой многочлен n-ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных).

Рассмотрим мн-н

Пусть – корень мн-на , тогда по следствию из т-мы Безу , где –мн-н (n-1) степени => по осн. т-ме алгебры 0 имеет корень по следствию из т-мы Безу имеем , где – мн-н нулевой степени, т.е.

Итак, любой мн-н n-ой степени (ненулевой) раскладывается на линейные мн-ли вида , где – корень мн-на и мн-ль =коэфф-ту при

Среди множители м.б. одинаковые => разложение = в общем виде будет иметь вид:

1) , где – кратности корней – соотв-но причём

Более того, среди корней м.б. комплексными. Т.к. – дествит. числа, то если – корень мн-на , то и также корень мн-на , т.к. в разложении м.б. произведения , где имеет действ. корней. Учитывая это разложение 1 принимает вид:

2) , где и

Обыкновенные дифференциальные уравнения (29).

1. Задачи приводящие к дифференциальным уравнениям:

Условие: тело массой m, падает на поверхность земли с высоты h, найдем закон движения υ(x): в нашем случае m=const, проектируя это уравнение на ось ОХ получим:

где ; или - дифференциальное уравнение 1^го порядка.

Дифференциальное уравнение 1^го порядка: Уравнения, связывающее независимую переменную х, функцию у, и ее производную т. е. уравнение вида называется дифференциальным уравнением первого порядка (обыкновенные). Порядок дифференциального уравнения определяется порядком производных. Примечание: Обыкновенные дифференциальные уравнения связывает независимую переменную х функцию у и ее производные до n-го порядка включительно и записывают . Решение дифференциального уравнения называют такую функцию которая будучи подставлена в дифференциальное уравнение (1) обращает его в тождество. Если дифференциальное уравнение (1) можно разрешить относительно производной то его называют дифференциальным уравнением первого порядка разрешенным относительно производной и записывают . Для уравнения (3) справедлива теорема о существовании и единственности его решения: Если для дифференциального уравнения функция и ее частная производная определены и непрерывны в некоторой области D на плоскости ОХY содержащей некоторую точку с координаты , то существует и притом единственное решения дифференциального уравнения удовлетворяющая условию при этом условие называется начальным условием для дифференциального уравнения (3). Геометрический смысл начального условия: Если y=y(x) решение дифференциального уравнения, то кривая описывающая этим решение проходит через точку (x₀,y₀=y(x₀)). Функция называют общим решением дифференциального уравнения (3) если: 1. она удовлетворяет при любом с дифференциального уравнения (3). 2. для данного начального условия существует такое значение с=с₀, что . Общим интегралом дифференциального уравнения (3) называют общее решение задаваемое не явно в виде уравнения в частности общее решение можно записать в виде общего интеграла . Частым решение называют общее решение при частном значении параметра с=с₀ т. е. - частное решение. Частный интеграл это общий интеграл при частном значении с=с₀ т. е. частный интеграл. Геометрический смысл общего решения (общего интеграла): общее решения дифференциального уравнения (3) описывает семейство кривых на плоскости ОХY . Аналогично общий интеграл – семейство кривых на плоскости OXY. Частный интеграл (частное решение) описывает ту кривую на плоскости OXY из семейства кривых, которая проходит через точку с координаты . Решить дифференциальное уравнение это значит: 1. найти его общее решение (или общий интеграл). 2. найти частное решение (или частный интеграл) если заданно начальное условие. В этом случае говорят – решить задачу Коши.