Свойства определенного интеграла.

1. 2. 3. 4. 5. при условии что интегралы существуют. 6. Если для любого то и

7. Если f(x) непрерывна на [a,b], то (следует из непрерывности функции).

7. Свойство аддитивности:

Для любых чисел a,b,c

при условии, что эти существуют. (т.е. – непрерывна на каждом из отрезков).

Действительноно, если а<c<b, то из определения определенного интеграла

a<b<c

Аналогично c<a<b

Теорема о среднем (12)

Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b] то существует такая точка , что Действительно по свойству 7. интеграл или , но функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] следовательно существует такая точка что где отсюда и следует терема о среднем . Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] то она и интегрируема на отрезка [a,b], т.е. существует . Доказательство: т.к. f(x) непрерывна то , рассмотрим интегральную сумму т.к. , то существует поскольку когда (из непрерывности функции f(x)).

Теорема (об интегрируемости) Для того, чтобы существовал, необходимо и достаточно, чтобы была непрерывной на если непрерывна на , то она интегрируема на

Замечание1: из дифференцируемости функции на и её непрерывность на . Обратное утверждение неверно.

Замечание2: из непрерывности на её интегрируемость на , если интегрируема на , то она может быть как непрерывной, так и прерываемой. Таким образом, если имеется точка разрыва на , то она может быть как интегрируемой , так и неинтегрируемой.

Теорема о дифференцируемости интегралов по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница (13).

рассмотрим определенный интеграл на , непрерывна на , то есть Если непрерывна на , то производная интеграла равна , т.е.

Доказательство: дадим приращение , считая, что непрерывна на (для определенности). С геометрической точки зрения - есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью абсцисс и прямыми x=a и x=x .

Найдем приращение

По определению производной:

в силу непрерывности на

Примечание: из доказательства теоремы следует, что является одной из первообразных для функции на . А так как все первообразные отличаются друг от друга на постоянную С, то если первообразная для на , то или

Формула Ньютона-Лейбница.

Теорема: если непрерывна на , а -её первообразная, то - формула Ньютона-Лейбница

Доказательство: из примечания следует, что . При (по свойству (2)) . Отсюда . Отсюда следует, что при

, то по свойству (1)

Замена переменной в определенном интеграле (14).

Пусть требуется вычислить интеграл , где непрерывна на .

Сделаем замену переменной в определенном интеграле, т.е. сделаем подстановку . На функцию наложим следующие требования:

1) -монотонная, т.е. существует обратная функция.

2) и непрерывны на , т.е.

тогда

Доказательство: рассмотрим неопределенный интеграл

Тогда

Следовательно

Примечание: при замене переменной в определенном интеграле возвращаться к старой переменной не нужно.