1. Оптимальная оценка отдельных параметров сигнала.

Задача оценки параметров сигнала возникает во многих практических слу­чаях. Так, часто требуется определить (измерить) частоту или фазу сигнала, оценить амплитуду сигнала при его передаче по каналу и т.д.. В телеметрии и телеуправлении необходимо оценивать большое число параметров, характери­зующих состояние объекта. Таким объектом может быть технологический про­цесс, нефтепровод, летательный аппарат, экипаж и т. п. В этом случае переда­ваемыми сообщениями являются контролируемые параметры, представляющие собой случайные величины, не зависящие от времени. Модуляция при этом сводится к установлению некоторого параметра λ сигнала s(t) в соответствии с переданным сообщением, а демодуляция - к выявлению (оценке) этого пара­метра с возможно большей точностью.

Когда оценивают один параметр сигнала заданной формы, задачу ставят следующим образом. Пусть принимаемое на интервале (0,Т) колебание Z(t) представляет собой аддитивную смесь сигнала s(t, λ), зави­сящего от одного неизвестного параметра λ, с шумом N(t):

Z(t) = s(t, λ) + N(t), 0 < t< Т. (8.5)

Полагаем, что параметр λ имеет постоянное значение на интервале наблю­дения (0,Т) и известна априорная плотность вероятности этого параметра а(λ). Требуется определить оператор системы, гарантирующий получение наилучшей оценки параметра и рассчитать точность этой оценки.

Из-за шума в канале и случайного характера параметра λ точное измерение его невозможно. Можно лишь указать его приближённую оценку.

<Качество оценки параметра, называемой точечной, обычно проверяется на выполнение трёх условий:

-состоятельности, состоящего в том, что оценка сходится по вероятности к оцениваемо­му параметру λ при неограниченном увеличении времени анализа (или объёма выборки), т.е.

при ξ > 0 . При этом, естественно, дисперсия ошибки стремится к нулю:

-несмещённости оценки, состоящего в том, что условное МО ошибки при всех λ должно равняться нулю: ;

-эффективности оценки, состоящего в том, что дисперсия ошибки D(E) должна, при задан­ном времени анализа или объёме выборки быть минимальной в классе всех возможных оце­нок: .>

Очевидно, вся информация о переданном параметре (сообщении) λ после приёма колебания (8.5) содержится в апостериорном распределении w(λ|z), ко­торое согласно формуле Байеса (5.5)

(8.6)

На основании анализа апостериорного распределения (8.6) принимается решение об оценке передаваемого параметра λ. При больших отношениях сиг­нал-шум апостериорная плотность вероятности имеет наибольший максимум в окрестности истинного значения параметра λ. Это обстоятельство указывает на то, что в качестве оценки целесообразно взять то значение , которое обра­щает в максимум функцию w(λ|z).

Во многих практических случаях априорная плотность вероятности w(λ) оказывается неизвестной и её полагают равномерной: w(λ) =const на всём воз­можном интервале . При этом координата максимума апостериорной вероят­ности будет совпадать с соответствующей координатой условного распределе­ния w(λ|z), которое определяет функцию правдоподобия. В этом случае прави­ло максимума апостериорной плотности вероятности переходит в правило мак­симального правдоподобия. Здесь оценка параметра определяется из условия

(8.7)

Оценку параметра, получаемую по этому критерию, называют максимально правдоподобной. Уравнение правдоподобия (8.7) можно записать в эквивалент­ном виде:

(8.8)

поскольку ln х — монотонная функция своего аргумента и, следовательно, кор­ни (8.7) и (8.8) совпадают. Оценка определяется тем корнем уравнения (8.8), который соответствует максимуму функции правдоподобия. Другим весьма распространённым критерием оценки параметров сигнала является оценка по минимуму среднеквадратической ошибки. При этом критерий минимизируется по :

(8.9)

Оптимальная оценка находится из условия .

После дифференцирования выражения (8.9) по с учётом того, что , получаем , откуда

(8.10)

т.е. оптимальной оценкой параметра является в данном случае математическое ожидание апостериорного распределения.

Критерий среднеквадратической ошибки является частным случаем более общего критерия, когда минимизируется МО некоторой функции потерь ,т.е.

Оценку, минимизирующую эту величину, называют байесовской оценкой, а критерий, основанный на минимизации (8.11)-

критерием среднего риска. При критерий минимума среднего риска (8.11) переходит в критерий среднеквадратической ошибки (8.9). В этом случае байесовская оценка определяется выражением (8.10).

Если w(λ|z), симметрична относительно , что имеет место при большом отношении сигнал-шум, то критерий максимума апостериорной вероятности и максимума функции правдоподобия совпадает с критерием минимума средне­квадратической ошибки.

Если значение параметра λ постоянно на интервале наблюдения и приня­тое колебание представляет собой аддитивную смесь (8.5) полезного сигнала s(t, λ) и БГШ N(t) со спектральной плотностью N₀/2, то вектор z, определяю­щий принимаемое колебание в функциональном пространстве, является слу­чайным гауссовским вектором, среднее значение которого s(t, λ), а дисперсия совпадает с дисперсией шума.

(8.12)

где с — постоянный коэффициент, а согласно (8.6) и (8.12)

(8.13)

где k - некоторая постоянная, которая может быть вычислена из условия нор­мирования . Упростим это выражение, преобразовав показатель экспоненты

В правой части этого равенства первый экспоненциальный множитель не зависит от λ и его можно включить в постоянную. Второй множитель равен exp(-E/N₀), где Е - энергия сигнала. В тех случаях, когда параметр λ неэнерге­тический, т.е. энергия сигнала не зависит от λ, этот член также можно вклю­чить в постоянную k. При этом условии последнее выражение можно записать так:

w(z| λ) = kw(λ) exp(q(λ)), (8.14)

где (8.15)

Нетрудно убедиться, что для сигнала s(t), зависящего от нескольких пара­метров, функция правдоподобия w(z| λ) и апостериорная плотность вероятности w(z| λ) будут определяться аналогичными выражениями, в которых

λ=( λ₁, λ₂, …, λ_n)

Отсюда следует, что при известной априорной плотности вероятности опре­деление апостериорной плотности вероятности сводится к вычислению функ­ции q(λ). Эта функция с точностью до коэффициента равна скалярному произ­ведению пришедшего сигнала с ожидаемым вариантом сигнала s(t, λ). Её часто называют корреляционным интегралом. Она определяет те существенные операции, которые нужно выполнить над z(t), чтобы извлечь всю доступную информацию о переданном сообщении λ. Оптимальный приёмник максималь­ного правдоподобия воспроизводит то сообщение λ, для которого функция q(λ) максимальна.