Прием сигналов.

1.Задачи синтеза оптимальных демодуляторов. Критерии качества и правила приема дискретных сообщений.

Демодулятор описывается законом, называемым правилом решения, по которому поступивший на его вход непрерывный сигнал превращается в кодовый символ, а реализующая его схема – решающей.

Полагая, что нам известны свойства источника сообщения, кодера, модулятор и задана математическая модель непрерывного канала; требуется определить, каков должен быть оптимальный демодулятор (правило решения), чтобы обеспечить наилучшее качество приема.

Критерий Котельникова или критерий идеального наблюдателя: качество демодулятора оценивают безусловной(средней)вероятностью правильного приема символа.

В n-мерном пространстве случайный сигнал z(t) характеризуется n-мерной плотностью вероятностей вектора z:w(z).

w(z|b_i)=w(z|s_i) – функция правдоподобия i-й гипотезы;i=0,1;b_i-передающийся символ; s_i(t)-принимаемый сигнал.

На вход демодулятора в течение отрезка [0;T] приходит сигнал z(t).Предположим, что демодулятор выдает оценку. Вероятность того, что это решение правильно равна условной вероятности P(b_i|z(t)).Это апостериорная вероятность символа b_i (вероятность, определенная после опыта, заключающегося в наблюдении и анализе сигнала z(t)).

Вероятность правильного приема достигает максимума, если для каждой конкретной реализации z(t) сумма максимальна.

. P(b_i’|z) характеризует решающее правило демодулятора(решение принимается обязательно).

Критерий идеального наблюдателя обеспечивается решающей схемой, построенной по правилу максимума апостериорной вероятности [P(1|z)>P(0|z)].При выполнении неравенства регистрируется 1,в противном случае – 0.

Согласно формуле Байеса и учитывая,что w(z) – безусловная плотность вероятности, не являющаяся функцией i,можно записать правило решения по критерию идеального наблюдателя P(1)w(z|1)>P(0)w(z|0).При выполнении регистрируется 1,в противном случае – 0.

2.Оптимальные алгоритмы приема при полностью известных сигналах(когерентный прием).

Предположим, что в канале действует шум, который полагаем белым, со пектральной плотностью N₀.Принимаемое колебание: z(t)=s_i(t)+n(t),где 0≤t≤T;все s_i(t)=γu_i(t-τ) известны,финитивные;n(t)-гауссовский аддитивный шум.В системе обеспечена надежная тактовая синхронизация.

Определим алгоритм работы оптимального демодулятора.Для этого необходимо найти отношения правдоподобия относительно нулевой гипотезы z(t)=n(t).

Ширина спектра сигнала бесконечна,а поэтому пространство сигналов бесконечномерное,значит не существует плотности вероятностей.Однако существуют n-мерные плотности вероятностей для любых n сечений сигнала.

Заменим белый шум квазибелым с той же одностронней спектральной плотностью мощности N₀,но в полосе частот F=n/2T, где n>>1.

Будем считать,что в отсутствие сигнала z(t)-стационарный шум с нулевым МО.Возьмем на тактовом интервале n равноотстоящих сечений через ∆t=1/2T=T/n.

Отсчеты z₁,...,z_n в этих сечениях для квазибелого гауссовского шума независимы.Поэтому n-мерная плотность вероятности ,где σ²=N₀F-дисперсия(мощность) квазибелого шума.

При гипотезе,что передавался символ b_i:

Отношение правдоподобия для сигнала s_i (относительно дополнительной гипотезы), вычисленное для n сечений:

Заменим дисперсию σ² ее выражением σ²=N₀F=N₀/2∆t:

По правилу максимума правдоподобия в случае квазибелого шума решающая схема должна выбирать значение i, обеспечивающее максимум Λ_i^[n].Но можно отыскивать максимум его логарифма: .

Будем расширять полосу F,тогда число сечений n стремится к бесконечности,а ∆t – к нулю,полученные суммы буду интегральными.

Правило приему для двоичной системы – проверка неравенства Λ₁>Λ₀.

. При выполнении регистрируется 1,в противном случае – 0.

Если сигналы u_i(t) и все реализации s_i(t) имеют одинаковые энергии:

При равной энергии оптимальный алгоритм приёма не требует знания «масштаба» приходящего сигнала(коэффициента передачи канала). Это важно для каналов с замираниями, в которых коэффициент передачи флуктуирует.

Для двоичной системы правило решения можно представить:

Опорные сигналы должны иметь те же начальные фазы, что и ожидаемые приходящие сигналы(когерентны с приходящими).