18Частная теорема Чебышева

Эта теорема устанавливает связь между среднеарифметическим результатом наблюдений за случайной величиной и её математическим ожиданием. Пусть имеется некоторая случайная величина Х, над которой проводятся результаты наблюдений (опыт): . При этом каждый из n опытов независим, а результат опыта рассматривается как случайная величина с характеристиками, соответствующими характеристикам исследуемой случайной величины, т.е. можно записать:

(1) (2)

Где и - соответственно математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х.

Известно, что среднеарифметическое результатов наблюдения определяется по формуле: (3)

Т.е. среднеарифметическое результатов наблюдений представляет собой произведение неслучайной величины на сумму случайных величин с одинаковыми характеристиками.

Определим характеристики среднеарифметического результатов наблюдений.

Математическое ожидание будет равно:

(4)

На основании теоремы о математическом ожидании произведения случайной величины на случайную и теоремы о математическом ожидании суммы случайных величин выражение (4) можно записать в виде:

(5)

С учётом равенства (1) данное выражение также можно представить: (6)

Таким образом, математическое ожидание среднеарифметического результатов наблюдений равняется математическому ожиданию случайной величины.

С учётом того, что случайные величины независимы, и дисперсии этих случайных величин равны между собой, то на основании теоремы о дисперсии произведения неслучайной величины на случайную и теоремы о дисперсии суммы независимых случайных величин дисперсию среднеарифметического значения можно записать в виде:

(7)

Таким образом, дисперсия среднеарифметического значения в n раз меньше дисперсии исследуемой случайной величины.

На основании выражений (6) и (7) Чебышевым была сформулирована теорема.

"Т" При достаточно большом числе независимых испытаний над случайной величиной Х среднеарифметическое результатов наблюдений сходится по вероятности к математическому ожиданию случайной величины Х.

Эта теорема в аналитическом виде задаётся выражением: (8)

где и (дэльта) – сколь угодно малые, но конечные величины.

Доказательство: На основании неравенства Чебышева с учётом выражения (6) и (7) можно записать:

(9)

Если от неравенства (9) на основании понятия о противоположном событии перейти к неравенству вида:

(10)

то можно заметить, что для любого числа (дэльта) можно подобрать такой объём выборки n, что будет выполняться условие:

(11)

С учётом неравенства (11) неравенство (10) можно записать в виде:

(12), что и требовалось доказать.

Общая теорема Чебышева

Данная теорема формулируется следующим образом:

"Т" Если случайные величины независимы с математическими ожиданиями , в общем случае неравными друг другу, и дисперсиями , также неравными друг другу, то максимальное значение дисперсии ограничено сверху некоторой величиной , тогда справедлива теорема:

Среднеарифметическое результатов наблюдений над данной системой случайных величин сходится по вероятности к среднеарифметическому их математических ожиданий при неограниченном увеличении числа опытов над данной системой.

Данная теорема записывается в виде:

(13) где и (дэльта) – сколь угодно малые величины.