19Теорема Бернулли и Пуассона

Частным случаем теоремы Чебышева являются теоремы Бернулли и Пуассона.

Известно, что если проводится серия опытов, в каждом из которых событие может появиться с вероятностью Р, то статистической вероятностью данного события будет являться выражение:

(1),

где n – число опытов,

m – число опытов, в которых появилось событие.

Теорема Бернулли утверждает:

"Т" При неограниченном увеличении числа опытов, в каждом из которых событие может появиться с вероятностью Р, статистическая частота этого события сходится по вероятности к вероятности появления события в отдельном испытании.

Данную теорему можно записать в виде:

(2)где и (дэльта) – сколь угодно малые, но конечные величины.

Доказательство: статистическую вероятность события можно представить в виде суммы случайных величин, делённой на число испытаний:

(3)

При этом каждая из случайных величин независима от других (так как опыты независимы). Эти случайные величины имеют одно и то же распределение вида:

( )

Соответственно, характеристики каждой из случайных величин таковы:

На основании теорем о числовых характеристиках можем записать, что математическое ожидание статистической вероятности равняется:

(4)

То есть математическое ожидание статистической вероятности равняется вероятности появления события в отдельном испытании.

На основании теоремы о дисперсии функции от случайных величин дисперсия статистической вероятности будет определяться выражением:

(5)

С учётом характеристик статистической вероятности неравенство Чебышева можно записать в виде:

(6)

Данное неравенство, выраженное через противоположное событие, будет иметь вид:

(7)

Для любого можно подобрать такое число наблюдений , что будет выполнено условие:

, какое бы ни было; (8)

тогда можно перейти к неравенству вида:

(9)

Если проводится испытаний и в каждом испытании вероятности появления события различны, то в этом случае справедлива теорема Пуассона, утверждающая:

"Т" Если проводится испытаний и в i-том испытании вероятность появления события равна , то при неограниченном увеличении числа опытов статистическая вероятность сходится по вероятности к среднеарифметическому вероятностей появления событий.

(Это вообщем-то частный случай общей теоремы Бернулли). Записывается эта теорема в виде:

(10)