10Условные законы распределения случайных величин, входящих в систему

Выше отмечалось, что, зная закон распределения системы, можно определить безусловные законы распределения отдельных величин, входящих в систему.

Возникает вопрос: можно ли по известным безусловным законам распределения отдельных величин определить закон распределения системы случайных величин? В общем случае ответ на этот вопрос дать нельзя.

Для того чтобы в полной мере охарактеризовать систему случайных величин, ещё нужно знать зависимость между ними. Эта зависимость определяется так называемыми "условными законами распределения".

Рассмотрим задачу определения вероятности попадания случайной точки в элементарный прямоугольник R.

Если известна плотность распределения системы f(x, y), то вероятность того, что случайная точка (X, Y) окажется в прямоугольнике R, равняется:

Р((X, Y)R) = f(x, y)xy (1)

Если известна плотность распределения относительной величины, входящей в систему, то эта вероятность на основании о вероятности произведения двух событий может быть определена по формуле:Р((X, Y)R) = f(x)x f(y/x)y (2)

f(x)x – вероятность того, что точка окажется в отрезке (х, х+х);

f(y)y – вероятность того, что точка окажется в отрезке (y, y+y);

f(y/x)y – вероятность того, что точка окажется в отрезке (х, х+х) при х произошедшем.

f(x) – безусловная плотность распределения случайной величины Х.

f(y/x) – безусловная плотность распределения случайной величины Y.

Если приравнять выражения (1) и (2) друг другу, то плотность распределения системы будет, соответственно, равна: f(x, y) = f(x)f(y/x) = f(y)f(x/y) (3)

Формула (3) называется формулой умножения законов распределения случайных величин.

Из формулы (3) следует, что условная плотность распределения одной случайной величины равна частному плотности распределения системы к плотности распределения другой случайной величины: (4)

Если известна плотность распределения системы, то условная плотность распределения может быть определена по формуле:

(5)

Если случайные величины независимы, то условные плотности распределения и безусловные плотности распределения равны друг другу. Соответственно, плотность распределения системы может быть выражена как произведение безусловных плотностей распределения каждой из величин, входящих в систему.

Зависимость или независимость случайных величин, входящих в систему, можно определить по виду плотности распределения системы.

Если выражение, представляющее плотность распределения системы, может быть выражено как произведение двух функций, одна из которых зависит только от величины y, а вторая – только от величины х, то случайные величины, входящие в систему, являются независимыми.

Не всегда некореллированные случайные величины являются независимыми. То есть может быть так, что коэффициент корелляции между случайными величинами равен 0, а условные и безусловные плотности распределения не равны друг другу, то есть случайные величины – зависимые.

Если же коэффициент корелляции отличен от 0, то случайные величины обязательно зависимы, то есть условные и безусловные законы распределения не равны друг другу.