- •20. Центральная предельная теорема
- •42.Проверка гипотеза о зависимости (независимости) случайных величин
- •41. Проверка гипотеза о зависимости (независимости) случайных величин
- •2.Билет
- •4Билет Формула полной вероятности
- •7Законы распределения дискретных случайных величин
- •8Распределение непрерывных случайных величин
- •9Системы случайных величин
- •10Условные законы распределения случайных величин, входящих в систему
- •12Нормальный закон на плоскости. Уравнение линии регрессии
- •13Функции от случайных аргументов
- •14 Билет
- •15Закон распределения функции от случайного аргумента общего вида
- •16Законы распределения функции от произвольного числа случайных аргументов
- •17Предельные теоремы теории вероятностей
- •18Частная теорема Чебышева
- •19Теорема Бернулли и Пуассона
9Системы случайных величин
На практике случайные явления чаще всего можно характеризовать не одной случайной величиной, а совокупностью случайных величин.
Как и отдельная случайная величина, свойство системы случайных величин определяется её характеристиками – такими как законы распределения системы случайных величин и числовые характеристики (как характеристиками отдельных случайных величин, входящих в систему, так и характеристиками, отражающими связь между случайными величинами, входящими в систему.Бывают системы как дискретных, так и непрерывных случайных величин.
Закон распределения систему двух случайных величин можно задать в виде таблицы:
Х |
Y |
|||||
y1 |
y2 |
… |
yi |
… |
ym |
|
x1 |
Р11 |
Р12 |
... |
Р1i |
... |
Р1m |
x2 |
Р21 |
Р22 |
... |
Р2i |
... |
Р2m |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
… |
xi |
Рi1 |
Рi2 |
... |
Рij |
... |
Рim |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
… |
xn |
Рn1 |
Рn2 |
... |
Рnj |
... |
Рnm |
Где – возможные значения случайных величин , которые могут быть приняты в результате опыта;
– число возможных значений соответственно случайных величин Х, Y;
– вероятность того, что случайная величина Х примет значение xi, а Y – yi.
Закон распределения системы случайных величин является её полной характеристикой. Зная закон распределения системы случайных величин, можно определить законы распределения отдельных случайных величин, входящих в систему, а также числовые характеристики этих случайных величин.
Так как случайная величина Х может принять значение xi при одном из несовместных событий, а именно при Y примет значение y1, Y примет значение y2, то вероятность этого равна: Аналогично для случайной величины Y определяется по формуле:
Характеристики каждой из случайных величин определяются по формуле:
Аналогичным образом и для Y:
Важной характеристикой системы случайных величин является корелляционный момент между случайными величинами, входящими в систему. Эта характеристика отражает силу связи между случайными величинами и рассеивание случайных величин относительно математических ожиданий. Эта характеристика задаётся выражением:
То есть корелляционный момент равен математическому ожиданию произведения центрированных случайных величин.
Для дискретной случайной величины эта характеристика определяется по формуле:
Корелляционный момент может быть вычислен:
Для того, чтобы определить только силу связи между случайными величинами, вводится такая характеристика как коэффициент корелляции между случайными величинами, который задаётся выражением:
Где - СКО (средне квадратичное отклонение) случайных величин Х и Y.
Если , то между случайными величинами существует линейная связь. Это значит, что по значению одной из случайных величин можно судить однозначно о значении другой случайной величины.
Если , то кореляционной связи между случайными величинами не существует.
В качестве основных характеристик систему двух непрерывных случайных величин рассматриваются функция распределения системы случайных величин и плотность распределения.
Функция распределения системы двух непрерывных случайных величин определяется:
F(x, y) = P(X<x, Y<y)
То есть функция распределения равна вероятности того, что случайная точка попадёт в квадрат с вершинами (x, y).