7Законы распределения дискретных случайных величин

Геометрическое распределение:

Пусть проводятся некоторые испытания. В каждом испытании событие А может появиться с вероятностью Р. Необходимо определить вероятность того, что при k-том испытании появится событие. Здесь в качестве случайного события рассматривается число k, то есть число испытаний до появления первого события.

На основании теоремы о произведении вероятностей независимых событий вероятность того, что случайная величина примет значение k, будет равна:

, k = 1, 2,...

– случайная величина может принимать любое из натуральных чисел (1, +∞).

Математическое ожидание данной случайной величины определяется по формуле:

(произведение некоторого числа на геометрическую прогрессию)

Дисперсия случайной величины равна второму центральному моменту. Для данной случайной величины она будет определяться по формуле:

где q = 1 – P.

Если требуется решить вероятностную задачу относительно этой случайной величины, то следует использовать выражение вида:

То есть вероятность того, что случайная величина, имеющая геометрическое распределение, в результате опыта примет значение более m₁ и менее m₂, определится по этой формуле.

Биномиальное распределение:

Это распределение связано с частной теоремой о повторении опыта. В данном распределении под случайной величиной понимается число опытов, в которых появится событие при n испытаниях.

Как известно, вероятность того, что при n опытах событие появится ровно k раз, определяется по формуле:

Р(Х = k) = С(n, k)Р^kq^n-k

где n – число опытов

k – число опытов, в которых появилось событие; k = 0, 1, 2, ..., n

Числовые характеристики:

Вероятностная задача относительно этой случайной величины определяется по формуле:

Распределение Пуассóна:

Это распределение связано с таким понятием как "поток событий".

Случайным потоком событий называют последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. На временной оси этот поток событий можно представить в виде точек:

Среди этих случайных потоков важное место занимает так называемый "простейший поток событий", который удовлетворяет ряду событий:

1. условие стационарности: поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий в некоторый промежуток времени τ (тáу) не зависит от того, где на временной оси берётся этот промежуток, а зависит только от величины этого промежутка:

2. отсутствие последствия: это значит, что события, образующие поток, появляются в последовательные моменты времени независимо от того, в какие моменты времени появились предыдущие события;

3. условие ординарности: это означает, что события могут появляться только по одиночке в некоторый фиксированный момент времени; то есть в один и тот же момент времени не могут появиться второе, третье, ..., n-ное события одновременно.

Для простейшего потока событий вероятность того, что за время τ появится ровно k событий, определяется законом Пуассона, который задаётся формулой:

где а = λτ

λ – интенсивность потока (среднее число событий за единицу времени).

Числовые характеристики:

То есть математическое ожидание и дисперсия данной случайной величины равны друг другу.

Из данных выражений следует, что случайная величина может принимать значения от 0 до ∞, то есть k = 0, 1, 2, ... (∞).

Вероятностная задача относительно этой случайной величины определяется по формуле:

В некоторых случаях биномиальное распределение может быть заменено распределением Пуассона.

Если число независимых опытов достаточно велико (n>10) и вероятность появления события в отдельном опыте не существенна (Р<0,1), то биномиальное распределение может быть приблизительно заменено распределением Пуассона, то есть справедливо выражение:

, где