8Распределение непрерывных случайных величин

Равномерное распределение:

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если её плотность распределения задаётся выражением:

График этой плотности распределения имеет вид:

Функция распределения:

График функции распределения:

Числовые характеристики:

Вероятностная задача относительно этой непрерывной случайной величины решается по формуле:

, , a, b

1. Показательное распределение:

Показательное распределение характеризует закон распределения интервала времени между двумя событиями в простейшем потоке.

Действительно, вероятность того, что за время τ не наступит очередное событие, согласно распределению Пуассона, можно задать выражением вида:

0! = 1

Соответственно, вероятность того, что за время τ наступит очередное событие, будет равна:

Р(Т > τ) = 1 – е^-λτ (1)

Это выражение характеризует функцию распределения случайной величины. Если через Х обозначить случайную величину "время наступления очередного события", то выражение (1) можно записать в виде:

Р(Х > х) = 1 – е^-λх (2)

С учётом этого, функцию распределения случайной величины, имеющей показательное распределение, можно записать следующим образом:

Числовые характеристики:

Вероятностная задача определяется:

Показательное распределение играет исключительную роль в теории надёжности. Через показательное распределение задаётся так называемая функция надёжности, имеющая вид:

где – интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени),

а функция надёжности определяет вероятность того, что в течение времени τ то или иное устройство будет работать безотказно.

2. Нормальное распределение:

Нормальный закон распределения случайной величины является основным законом природы, где процесс описывается с помощью случайной величины.

Плотность распределения случайной величины, имеющей нормальное распределение, задаётся выражением:

где a и b – параметры распределения.

Математическое ожидание:

Из этого следует, что среднее квадратичное случайной величины по нормальному закону _х равна параметру b данного распределения.

Как правило, при решении вероятностных задач относительно случайной величины, распределённой по нормальному закону, вводится такое понятие как нормальное стандартное распределение.

В этом распределении математическое ожидание равно 0 (m_х = 0), дисперсия равна 0 (D_х = 0), следовательно, _х = 0.

Плотность распределения:

Для функции стандартного нормального распределения:

составляются таблицы.

Для того, чтобы через стандартное нормальное распределение можно было решить вероятностную задачу относительно случайной величины общего вида, то есть когда m_х≠0 и D_х≠0, её центрируют ( ) и нормируют (÷ ) таким образом:

В этом случае случайная величина Т имеет стандартное нормальное распределение. И тогда связь между функциями распределения случайной величины общего вида и функцией распределения стандартной величины задаётся выражением:

Соответственно, вероятность того, что случайная величина Х больше  и меньше , равна:

Р(<Х<) = F() – F() = -