4Билет Формула полной вероятности

Следствием теоремы произведения и суммы вероятностей событий является так называемая формула полной вероятности.

Пусть имеются некоторые гипотезы Н₁, Н₂, ..., Н_n, представляющие полную группу попарно несовместных событий. Пусть при одной из этих гипотез может произойти некоторое событие А, тогда вероятность события А будет определяться формулой:

где Р(Н₁), Р(Н₂), ..., Р(Н_n) – вероятности соответствующих гипотез,

Р(А/Н₁), Р(А/Н₂), ..., Р(А/Н_n) – условные вероятности события А при соответствующих гипотезах.

Доказательство: Так как событие А может произойти при одной из несовместных гипотез, то ему будут благоприятствовать несовместные исходы вида Н₁А, Н₂А, ..., Н_nА.

Так как каждый из исходов благоприятствует событию А и является несовместным, то на основании аксиомы о вероятности суммы несовместных событий, вероятность события А будет равна:

Р(А) = Р(Н₁А) + Р(Н₂А) +...+ Р(Н_nА) = Р(Н₁)Р(А/Н₁) + Р(Н₂)Р(А/Н₂) +...+ Р(Н_n)Р(А/Н_n),

что и требовалось доказать.

Р(А) – вероятность безусловного события, Р(В/А) – вероятность условного события (условием является в том, что событие А произошло).

Для того чтобы определить вероятность события по формуле полной вероятности, необходимо:

1. определить гипотезы, при которых может произойти событие;

2. определить вероятности каждой гипотезы;

3. определить вероятности события при каждой из гипотез.

Формула БайесаПри применении формулы полной вероятности предполагается, что до опыта известны вероятности каждой из гипотез и известны условные вероятности события при каждой из гипотез. Часто возникает вопрос, как изменятся вероятности гипотез, если в результате опыта событие А произошло. Эта формула (формула Байеса) доказывается на основании вероятности произведения событий:

Р(Н_i)Р(А/Н_i) = Р(А)Р(Н_i/А)

Из этого выражения следует, что: так как вероятность события А до опыта равна сумме вероятностей произведения

5 билет"О" Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта принимает то или иное значение – заранее неизвестно, какое – и зависящее от случайных причин, которые не могут быть учтены до опыта.

Случайная величина рассматривается как расширенное понятие случайного события.

Случайные величины бывают дискретные и непрерывные. Дискретной называют случайную величину, которая в результате опыта принимает одно из возможных значений с определённой вероятностью. Непрерывной называют случайную величину, которая в результате опыта может принять значение, находящееся в некотором промежутке (интервале, полуинтервале...). Условимся обозначать случайные величины большой буквой Х, а некоторые её конкретные значения – малой х.

Законы распределения случайных величин

"О" Законом распределения случайной величины называется всякая зависимость, устанавливающая связь между значением случайной величины и его вероятностью.

Существуют различные формы задания законов распределения случайных величин.

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан в виде ряда распределения, представляющего либо таблицу, либо аналитически.

Ряд распределения дискретной случайной величины имеет вид:

Х	х1	х2	...	хi	...	хn
Р	Р1	Р2	...	Рi	...	Рn

где – возможные значения случайной величины, которые могут реализоваться в результате опыта; эти значения представляют собой полную группу попарно несовместных событий; - вероятности того, что в результате опыта случайная величина примет соответствующее значение. Так как х₁, х₂, ..., х_i, х_n представляют собой полную группу попарно несовместных событий, то сумма вероятностей равняется 1 (единице): .

В аналитическом виде закон распределения дискретной случайной величины можно записать следующим образом:

,

где – число возможных значений, оно может быть как конечным, так и бесконечным.

Очевидно, что если случайная величина непрерывная, то задать закон её распределения ряда невозможно, так как число значений бесконечно.

Более универсальной формой задания закона распределения случайной величины является функция распределения.

Функция распределения случайной величины задаётся выражением:

(1) – величина примет значение меньше заданного

– случайная величина

– некое (конкретное) определённое значение.

К ачественная сторона этого:

– функция распределения как дискретной, так и непрерывной случайной величины.

Свойства функции распределения:

1. она является неубывающей функцией, то есть если х₂>х₁, то F(x₂)>F(x₁);

2. функция на "– ∞" равна нулю: F(– ∞) = 0;

3. F(+ ∞) = 0;

4. 0  F(x)  1;

5. вероятность того, что случайная величина Х в результате опыта будет заключена в интервале (, ), определяется через функцию распределения по формуле:

Доказательство: На оси х возьмём точки и :

Рассмотрим события В = Х, С = Х и D = <Х<.

События С и D – несовместные, при этом сумм этих событий равна событию В: С + D = В.

Определим вероятности каждого из этих событий:

(1)

Так как события С и D несовместны, то можно записать: или:

что и требовалось доказать.

По этой формуле при известной функции распределения случайной величины решаются вероятностные задачи относительно случайной величины.

Для дискретной случайной величины в общем случае функцию распределения можно задать в виде ступенчатой структуры:

Высота ступени определяется вероятностью того, что случайная величина примет значение, равное х_i, Р(Х = х_i).

Для непрерывной случайной величины функция распределения имеет вид:

Разновидностью закона распределения для непрерывной случайной величины является плотность её распределения. Плотность распределения иногда называют дифференциальным законом распределения случайной величины.

Плотность распределения непрерывной случайной величины задаётся выражением:

То есть плотность распределения является производной от функции распределения.

Свойства плотности распределения:

-так как функция распределения является неубывающей функцией, то: f(x)0;

-функция распределения выражается через плотность распределения по формуле:

-вероятность того, что случайная величина попадёт в интервал (, ), определяется выражением:

-нормирующее свойство:

Закон распределения случайной величины является полной её характеристикой. Однако при решении ряда задач относительно случайной величины достаточно знать некоторые её характеристики.

6Числовые характеристики случайной величиныЧисловые характеристики случайной величины определяются через закон её распределения. Они определяются через так называемые "моменты случайной величины". Эти моменты бывают начальные и центральные.

Начальные моменты случайной величины определяют, как случайная величина распределяется относительно начала координат. А центральные моменты случайной величины определяют, как случайная величина распределяется относительно центра объекта (?).Примем k-тый начальный момент как , а центральный момент через . Для дискретной случайной величины момент обозначается в виде: (1)

– это математическое ожидание случайной величины в степени k или k-тый случайный момент; для дискретной случайной величины он раскрывается суммой .

Важной характеристикой является первый случайный момент – он называется математическим ожиданием случайной величины и определяет центр её группирования.

Для дискретной случайной величины математическое ожидание определяется: (2)

P_i – вероятность того, что случайная величина примет значение х_i.

Для непрерывной случайной величины начальный момент k-того порядка определяется по формуле: (3)

Математическое ожидание для непрерывной случайной величины: (4)

Любой из моментов случайной величины характеризует те или иные её свойства. Наряду с математическим ожиданием случайной величины центр её рассеивания также задаётся такими характеристиками как мода и медиана.

Модой является то значение случайной величины, при котором плотность её распределения максимальна, то есть выполняется условие:

f(x₀) = max, x₀ – мода случайной величины

В точке x₀ плотность распределения максимальна.

Медиана случайной величины определяется исходя из условия:

Где  - медиана.

В общем случае математическое ожидание случайной величины и медиана могут быть не равны друг другу.

Для определения центральных моментов случайной величины вводится такое понятие как центрированная случайная величина:

Центрированный момент случайной величины k-того порядка задаётся выражением:

Для дискретной случайной величины центрированный момент определяется формулой:

Важной характеристикой случайной величины является второй центрированный момент, который называется дисперсией ( ) случайной величины.

Он (момент) характеризует рассеивание случайной величины относительно математического ожидания. Дисперсия дискретной случайной величины определяется по формуле:

Можно доказать, что дисперсия дискретной случайной величины может быть выражена через второй начальный момент и математическое ожидание случайной величины по формуле:

– (этой формулой проще пользоваться)

Для непрерывной случайной величины k-тый центральный момент определяется выражением: где f(x) – плотность распределения случайной величины

Так как размерность дисперсии и размерность случайной величины отличаются друг от друга, то наряду с дисперсией в качестве характеристики рассеивания случайной величины вводится такая характеристика как среднее квадратичное отклонение случайной величины (СКО)  (сигма):

На практике очень важным понятием является понятие трёх сигм – "3". На уровне 3 даются все предельные отклонения случайных величин.