50. Дисперсия дискретной случайной величины.

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных зн-ий СВ вокруг её среднего зн-я.

Поэтому наряду с мат ожиданием вводят и др числовые характеристики, например, дисперсию.

Определение 21.8 Отклонением назыв разность между СВ Х и её мат ожиданием М(х), т.е. х-М(х).

Если закон распред-я СВ Х известен:

х			…
р			…

то отклонение имеет след закон рапред-я:

Х -М(х)	-М(х)	-М(х)	…
р			…

Теорема 21.3 Мат ожидание отклонения равно нулю, т.е. М[х-М(х)]=0

Определение 21.9 Дисперсией (рассеянием) ДСВ назыв мат ожидание квадрата отклонения СВ от её мат ожидания:

D(х)= (21.8)

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно польз-ся след.теоремой

Теорема 21.4 Дисперсия равна разности между мат ожиданием квадрата СВ и квадратом её мат ожидания:

D(х)= (21.9)

51. Свойства дисперсии. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях.

Св-во 1: Дисперсия пост величины С равно нулю: D(c)=0

Св-во 2: Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(сХ)= D(х)

Сво-во 3: Дисперсия суммы 2-х независ-х СВ равна сумме дисперсий этих величин:

D(х+у)=D(х)+D(у)

Св-во 4: Дисперсия разности 2-х независимых СВ равна сумме их дисперсий:

D(х-у)=D(х)+D(у)

Доказательство

П.6 Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях;

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из котор вер-ть появления события А постоянна. Опр-ть дисперсию числа появлений события в этих испытаниях можно, исходя из след теоремы;

Теорема 21.5. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из котор вер-ть Р появления события постоянна, равна произв-ю числа испытаний на вер-ти появления и непоявление события в одном испыт.:

D(x)=прq (21.10)

52. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

53. Понятие о теоретических моментах распределения.

54. Биномиальное распределение. Пусть произв-ся n независимых испытаний, в каждом из котор-х событие А может появиться либо не появиться. Вер-ть наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р(следовательно, вер-ть непоявл. q=1-p).

Рассм-м в кач-ве ДСВ Х число появлений события А в этих испытаниях.

Поставим перед собой задачи: найти закон распределения величины Х. Для её решения требуется опр-ть возможные зн-ия Х и их вер-ти.

Очевидно, событие А в n испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза,…, либо n раз. Таким образом, возможные зн-ия Х таковы:

Х1=0, Х2=1, Х3=2,…, =n

Остается найти вер-ти этих возможных зн-ий, для чего достаточно воспольз-ся ф-лой Бернулли:

, где k=0,1,2,…n (22.1)

Формула (22.1) и явл-ся аналитическим выражением искомого закона распределения.

Биномиальным называют распред-е вер-ей, определяемое формулой Бернулли.

Напишем биномиальный закон распред-я в виде таблицы:

х	n	n-1	…	k	…	0
р		n q	…		…

Пример 22.1 Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распред-я СВ Х – числа выпадений «герба».

Решение. Вер-ть появления «герба» в каждом бросании монеты р= , следоват-но, вер-ть непоявл-ия «герба» q=1 - =

При двух бросаниях монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться.

Таким образом, возможные зн-ия Х таковы:

Х1=0, Х2=1,Х3=2

Найдем вер-ти этих возм-х зн-ий по формуле Бернулли:

Напишем искомый закон распред-я:

х	0	1	2
р	0,25	0,5	0,25

Контроль: 0,25+0,5+0,25=1

55. Распределение Пуассона. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вер-ть появления события А равна р. Для определения вер-ти k появлений события А в этих испытаниях исп-ют формулу Бернулли. Если же n велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа.

однако эта формула непригодна, если вер-ть события мала (р ≤ 0,1). В этих случаях (n велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона:

Рn(k)= (22,2)

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вер-тей массовых (n велико) и редких (р мало) событий.

Замечание 1. Произведение np сохраняет постоянное значение, а именно np= .

Это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т.е. при различных значениях n, остается неизменной.

Замечание 2. Имеются специальные таблицы, пользуясь которыми можно найти Рn(k), зная k и .

Пример 22.2 Завод отправляет на базу 5000 доброкач-х изделий. Вер-ть того,что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вер-ть того,что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. По усл-ю n=5000, р=0,0002, k=3. Найдем :

=np=5000*0,0002=1.

Тогда по формуле Пуассона искомая вер-ть приближенно равна:

Р5000 (3)= = = = 0,06.

56. Простейший поток событий. Рассмотрим события, кот. наступают в случайные моменты времени.

Определение 22.1 Потоком событий наз. послед-ть событий, кот. наступают в случайные моменты времени.

Примерами потоков служат: поступления вызовов на пункт неотложной помощи и др.

Определение 22.2 Простейшим (Пуассоновским) наз. поток событий, кот. обладает св-ми стационарности, отсутствия последствия и ординарности.

Св-во стационарности хар-ся тем,что вер-ть появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом различные промежутки времени предполагаются непересекающмися.

Например, вер-ти появления событий на промежутках времени (1;7), (10;16), (Т;Т+6) одинак. длительности t=6, ед. времени равны между собой.

Св-во ординарности хар-ся тем,что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно.

Следовательно, если поток обладает св-вом ординарности, то за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.

Св-во отсутствия послед-я хар-ся тем,что вер-ть появления k событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка.

Таким образом, предыстория потока не сказывается на вер-ти появления событий в ближайшем будущем, что означает, что имеет место взаимная независимость появлений того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени.

Определение 22.3 Интенсивностью потока наз. ср. число событий, кот. появляются в ед.вр. Доказано, что если постоянная интенсивность потока известна, то вер-ть появления k событий простейшего потока за время длительностью t опред-ся формулой Пуассона:

Рt (k)= (22.3)

Формула Пуассона отражает все св-ва простейшего потока, поэтом ее можно считать моделью простейшего потока событий.

57. Геометрическое распределение. Пусть производятся независ-е испытания, в каждом из кот. вер-ть появления события А равна р. Испытания заканчиваются, как только событие А. Таким образом, если событие А появилось в

k-ом испытании, то в предшествующих k-1 испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через ДСВ Х- число испытаний, кот. нужно провести до первого появления события А.

Очевидно, возможными значениями Х явл. натуральные числа: х1 = 1, х2 = 2,…

Пусть в первых k-1 испытаниях событие А не наступило, а в k-м испытании появилось. Вер-ть этого «сложного события» по теореме умножения вер-тей независимых событий

Р (х=k) = p (22.4)

Полагая k=1,2…в формуле (22,4), получим геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q(0<q<):

р, qp, p,…, p,… (*)

По этой причине распределение (22,4) наз. геометрическим.

Легко убедиться, что ряд (*) сходится и сумма его равна 1. Действительно,

= = 1.

Пример 22.4 Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вер-ть попадания в цель р=0,6. Найти вер-ть того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение. По усл-ю р=0,6; q=0,4; k=3. Искомая вер-ть по формуле (22.4)

Р(х=3)= p= *0,6 = 0,096.

58. Гипергеометрическое распределение. Пусть в партии из N изделий имеются m1 стандартных (m1<N). Из партии случайно отбирают k изделий. Каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью, причём отобранное изделие перед отбором предыдущего не возвращают в партию, поэтому формула Бернулли не применима.

Обозначим через Х случайную величину – число стандартных изделий среди k отобранных. Очевидно, возможные значения Х таковы: 0, 1, 2,… min(m1;k)

Найдем вероятность того, что x=k то есть что среди k отобранных изделий равно k1 стандартных. Используем для этого классическое определение вероятности. Искомая вероятность равна отношению числа исходов благоприятствующих событию x=k1 к числу всех элементарных исходов

P(x=k1) = (22.5)

Функция 22.5 определяет распределение вероятностей, которые называются гипергеометрическими.

Заметим, что если k значительно меньше N (практически, если k< 0,1N), то гипергеометрическое распределение даёт вероятности близкие к вероятностям найденным по биномиальному закону.

Пример 22.5: Среди 50 изделий 20 окрашенных. Извлечены 4 изделия, составить закон распределения случайной величины Х – число окрашенных изделий среди извлечённых.

Решение: по условию n =30, m1 = 20, k=4. Значение k1: 0, 1, 2, 3, 4.

Найдём значение вероятности:

P(X=0) = 0.119

P(X=1) = 0.353

P(X=2) = 0.358

P(X=3) = 0.149

P(X=4) = 0.021

Напишем закон распределения:

Х	0	1	2	3	4
Р	0.119	0.353	0.358	0.149	0.021

Контроль: 0.119+0.353+0.358+0.149+0.021=1

59. Равномерное распределение. Определение 23.1. Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , если на интервале , которому принадлежат все возможные значения , плотность сохраняет постоянное значение: , вне этого интервала .

Приведем пример равномерно распределенной случайной величины.

Пример 23.1. Шкала измерительного прибора проградуирована в некоторых единицах. Ошибку при округлении отсчета до ближайшего целого деления можно рассматривать как случайную величину , которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми делениями. Таким образом, имеет равномерное распределение.

Решение. Найдем плотность равномерного распределения , считая, что все возможные значения СВ заключены в интервале , на котором функция сохраняет постоянные значения.

По условию, не принимает значений вне интервала , поэтому при и .

Найдем постоянную . Так как все возможные значения СВ принадлежат интервалу , то должно выполняться соотношение или .

Откуда: .

Итак, искомая плотность вероятности равномерного распределения имеет вид:

График плотности равномерного распределения изображен на рисунке 23.1.

60. Нормальное распределение. Определение 23.2. Нормальным называют распределение вероятностей НСВ, которое описывается плотностью

. (23.1)

Так как нормальное распределение определяется двумя параметрами: и , то достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. При этом вероятностный смысл этих параметров таков: есть математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение.

Замечание 1. Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами и . Нормированным называют распределение с параметрами и , при этом плотность нормированного распределения имеет вид: .

Замечание 2. Функция общего нормального распределения имеет вид:

,

а функция нормированного распределения .

Замечание 3. Вероятность попадания нормированной нормальной величины в интервал можно найти, пользуясь функцией Лапласа Ф (§ 20.12). Действительно,

Ф .

Отметим также, что Ф .

Замечание 4. Вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу равна:

Ф – Ф . (23.2)

61.Нормальная кривая. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). При этом:

1) функция определена на всей оси ;

2) при всех значениях функция принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена над осью ;

3) ось служит горизонтальной асимптотой графика функции, т.к. ;

4) функция имеет максимум, равный ;

5) график функции симметричен относительно прямой , т.к. разность содержится в аналитическом выражении функции в квадрате;

6) точки графика и являются точками перегиба.

Нормальная кривая при и изображена на рисунке 23.2.