22. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных.
Определение 17.4. Уравнение вида y’+P(x)y=Q(x) (или A(x)y’+B(x)=C(x)(17.6) называются линейным ДУ.
При этом уравнение: y’+P(x)=0, в котором правая часть тождественно равна нулю, называется линейным однородным, а уравнение 17.6, в котором Q(x)≠0 – линейным неоднородным.
Общее решение уравнения 17.7 имеет вид:
Общее решение неоднородного линейного уравнения, можно найти:
Метод вариации произвольной постоянной (Лагранжа), состоит в том, что сначала находят общее решение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 соответственно линейного однородного уравнения. Затем, варьируя произвольную постоянную,т.е.: полагая и подставляя y в уравнение 17.6 получаем C’(x)* =Q(x). Из последнего уравнения определим С(х): С(х)= . Следовательно общее решение неоднородного линейного уравнения имеет вид: у= ( )
Общее решение полученного уравнения имеет вид:
Y= ( )
23. Понятие числового ряда. Основные понятия. Определение 19.1 Пусть задана бесконечная числовая последовательность u1, u2, … , un , … , где un є k, n є N.
выражение вида
u1
+ u2
+ … + un
+ …=
называется числовым рядом.
(19.1)
Числа u1, u2, … , un , … , называются членами ряда (19.1), un = f(n) – общим членом ряда (19.1)
Определение 19.2 Сумма первых n членов ряда (19.1) называется n – ой частичной суммой данных ряда и обозначается Sn:
Sn
= u1
+ u2
+ … + un
=
.
Будем иметь
S1 = u1, S2 = u1 + u2, … , Sn = u1 + u2 … u3.
Получим последовательность частичных сумм ряда (19.1):
(Sn): S1, S2, … , Sn, … (19.2)
Если последовательность частичных сумм (Sn) (19.2) имеет конечный предел
lim Sn = S, то числовой ряд (19.1) называется сходящимся, а число S называется суммой ряда (19.1):
Sn = u1 + u2 + … + un + … или S = .
Если же предел последовательности (Sn) (19.1) не существует или бесконечен, то ряд (19.1) называется расходящимся.
Например, ряд
u + uq + uq2 + … + uq(n-1) + … (|q| < 1), составленный из членов любой убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся и его сумма S = u/(1-q)
24. Свойства сходящихся рядов. Приведем несколько важных свойств относительно сходимости рядов.
1)
Если ряд
сходится и имеет сумму S,
то ряд
, где k
є R,
также сходится и его сумма равна kS.
2)
Если ряды
и
сходятся и имеют соответственно суммы
S
и S’
, то сходится и ряд
, причем его сумма равна S
±
S’.
3)
Если сходится ряд
, то сходится и ряд
полученный из данного ряда отбрасыванием
первых k-
членов. Ряд
называется k-ым
остатком ряда и обозначается Rk.
Из сходимости k-го
остатка ряда следует сходимость исходного
ряда.
25. Необходимое условие сходимости числового ряда. Достаточное условие расходимости числового ряда. Исследование сходимости ряда является важнейшей задачей теории числовых рядов.
Теорема 19.1(необходимый признак сходимости ряда)
Если
ряд
сходится,то
=0(19.3),т.е
если ряд сходится,то его общий член
стремится к нулю при
.
Условие (19.3) не является достаточным,т.е если оно выполняется,то это не означает,что ряд сходится.
Например,ряд
назыв. гармоническим,расходится
.
При этом необходимое условие сходимости числовых рядов выполняется:
.
Следствием теоремы 19.1 является следующая теорема.
Теорема 19.2 (достаточный признак расходимости ряда).
Если
или не существует ,то ряд
расходится.
26.
Признаки сравнения для числовых
знакоположительных рядов.
Теорема 19.3 (Первый признак сравнения).Пусть
даны два ряда с положительными членами
n
и
n
Если un≤vn для n≥noϵN ряд n сходится, то сходится и ряд n,причем его сумма не превосходит суммы ряда n
Теорема 19.4 (Второй признак сравнения). Даны два знакоположительных ряда n и n Если un≥vn для n≥noϵN и ряд n расходится,то расходится и ряд n
Теорема 19.5 (Предельный признак сравнения). Даны два знакоположительных ряда n и n
Если
существуют конечный и отличный от нуля
предел
>k,
то оба ряда
n
и
n
сходится или расходятся одновременно.
Для сравнения часто используют ряды:
1) qn-1 │q│<1-cходящийся (геометрическая прогрессия)
2)
-ряд
Дирихле, сходящийся при λ>1,расходящийся
при λ≤1,в
случае λ=1
-гармонический
Пример 19.1. Спомощью признаков сравнения исследовать сходимиость данных рядов:
А)
-
Б)
-
В)
Решение:
А) Общий член данного ряда
Vn
=
>
=Un,т.к
с увеличением знаменателя дробь
уменьшается,но ряд )
–гармонический,расходящийся,
следовательно, данный ряд тоже расходится
(по второму признаку сравнения)
Б)Общий
член данного ряда Un=
меньше
общего члена сходящегося ряда Vn=
(геометрическая
прогрессия),т.к
,
поэтому
в соответствии с первым признаком
сравнения данный ряд сходится.
В)
Беря для сравнения ряд
,
получим
=
=
=
=
= 1>0
Т.к ряд сходится, то по предельному признаку сравнения данный ряд сходится
27.
Достаточные признаки сходимости числовых
знакоположительных рядов.
Теорема 19.6. (признак Коши). Если для ряда
существуетто
=0, при с<1 ряд сходится , а при с>1 ряд
расходится.
Если с=1, то признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.В этом случае требуется дополнительное исследование.
Теорема
19.7 (признак Даламбера). Если для ряда
существет
,
то ряд сходится при L<1
и расходится при L>1.
Если L=1, то признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.В этом случае сходимость ряда исследуют с помощью других признаков.
Теорема 19.8 (интегральный признак).Если при x≥1 функция f(x) является непрерывной, положительной и монотонно убывающей, то ряд , где un=f(n),сходится , если сходится
Несобственный
интеграл
,
u
расходится, если данный интеграл
расходится.
Пример 19.2.Исследовать на сходимость ряды:
А)
Б)
Решение:
А)
Воспользуемся признаком Коши. Для
данного ряда
=
=
=
=
*
<1,
ряд
сходится
Б) Воспользуемся признаком Даламбера
Здесь
Un
=
,
поэтому
Un+1
=
,
поэтому
=
/
=
=
=
>1
Следовательно,
=
=
>1
Данный ряд расходится.