- •1. Понятие о первообразной и неопределенном интеграле.
- •2. Основные свойства неопределенного интеграла.
- •3. Основные методы интегрирования. Метод замены переменной интегрирования.
- •4. Основные методы интегрирования. Интегрирование по частям.
- •5. Интегрирование простейших иррациональностей.
- •6. Понятие определенного интеграла.
- •7. Геометрический смысл определенного интеграла.
- •8. Основные свойства определенного интеграла.
- •9. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
- •11. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •22. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных.
- •28. Понятие знакочередующегося ряда. Теорема Лейбница.
- •31. Классическое определение вероятности.
- •32. Свойства вероятности.
- •33. Понятие относительной частоты. Статистическая вероятность.
- •34. Геометрические вероятности.
- •35. Основные формулы комбинаторики.
- •36. Теоремы сложения вероятностей.
- •37. Теоремы умножения вероятностей.
- •38. Формула полной вероятности.
- •39. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса.
- •40. Повторение испытаний. Формула Бернулли.
- •41. Повторение испытаний. Локальная теорема Лапласа.
- •42. Повторение испытаний. Интегральная теорема Лапласа.
- •45. График функции распределения.
- •46. Плотность распределения вероятностей нсв. Свойства плотности распределения.
- •47. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения.
- •48. Математическое ожидание дсв.
- •49. Свойства математического ожидания. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях.
- •50. Дисперсия дискретной случайной величины.
- •51. Свойства дисперсии. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях.
- •52. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
- •53. Понятие о теоретических моментах распределения.
- •Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой.
- •81. Статистическая проверка параметрических гипотез. Ошибки первого и второго рода. П.2. Ошибки первого и второго рода.
- •Проверка гипотез равенства математических ожиданий двух случайных величин (большие независимые выборки).
- •89. Геометрическая интерпретация и графическое решение злп.
- •90. Понятие симплексного метода.
- •91. Понятие двойственности. Построение пары взаимно двойственных
- •92. Первая теорема двойственности и ее экономическое содержание.
- •93. Вторая теорема двойственности и ее экономическое содержание.
- •1. Понятие о первообразной и неопределенном интеграле.
- •2. Основные свойства неопределенного интеграла.
- •3. Основные методы интегрирования. Метод замены переменной интегрирования.
5. Интегрирование простейших иррациональностей.
1)Интеграл вида приводится к табличным интегралам вида (если a или (если a
2)В интеграле вида (m из числителя выделяется производная 2ax+b. В результате приходим к табличным интегралам и интегралам первого вида.
3)Интегралы вида (m с помощью подстановки приводится к видам рассмотреным ранее.
4)Интегралы вида путем выдиления полного квадрата приводится к одному из трех видов:
1)
2)
3)
Интегралы этих трех видов тригинометрическими подстановками сводятся к интегралам функций рационально зависящих от и . Для этого достаточно в интегралах вида (1) применить подстановку или , в интегралах вида (2) – подстановку или , в интегралах вида (3) – подстановку или
6. Понятие определенного интеграла.
П усть функция f(x) определена на отрезке . Разобьем произвольно этот отрезок на n частей точками где .
Обозначим , и пусть - длинна наибольшего из отрезков разбиения (ее называют диаметром разбиения). На каждом отрезке произвольно выберем точку и составим сумму , которую называют интегральной суммой Римана функции f(x), соответствующей данному разбиению отрезка и выбору точек .
Рассмотрим предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, т.е. .
Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при условии, что наибольшая из разностей , стремится к нулю, причем этот предел не зависит от способа разбиения отрезка и от выбора точек , то функцию f(x) называют интегрируемой по Риману на отрезке , а сам предел называют определенным интегралом от функции f(x) в пределах от a до b и обозначают символом .
По определению определенный интеграл от f(x) на , есть некоторое число I (его так же называют интегралом Римана от f(x) на )
7. Геометрический смысл определенного интеграла.
П усть f(x) непрерывная на функция, причем для . Криволинейной трапецией называют фигуру ограниченную графиком функции f(x), прямыми , и осью .
Произведение f(x) равно площади прямоугольника с основанием и высотой f , а сумма представляет собой площадь ступенчатой фигуры, изображенной на рисунке.
Если при стремлении к нулю диаметра разбиения отрезка существует предел, то естественно величину I называют площадью криволинейной трапеции. Таким образом с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции есть площади соответствующей криволинейной трапеции: .
8. Основные свойства определенного интеграла.
1)Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.
2)Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е. , где k-const.
3)Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме их интегралов, т.е.
4)Имеет место равенство: .
5)Для любых чисел a, b и с справедливо равенство: , если все три интеграла существуют.
6)При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак, т.е. .
7)Если на отрезке функция f(x) и удовлетворяют условию f(x) , то .
8)Если подынтегральная функция на отрезке интегрирования не меняет знак, то интеграл представляет собой число того же знака, что и функция, т.е. при f(x) (f(x) ) для .
9)(Теорема об оценке) Если M и m – наибольшее и наименьшее значения f(x) на отрезке , то .
10)(Теорема о среднем) Если f(x) непрерывна на , то существует такая , что .
11)Интегрирование в симметричных пределах можно упростить по формулам: