81. Статистическая проверка параметрических гипотез. Ошибки первого и второго рода. П.2. Ошибки первого и второго рода.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. В итоге статистической проверки гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Вероятность ошибки первого рода называют уровнем значимости и обозначают через . Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят уровень значимости, равный 0,05, то это означает, что в пяти случаях из ста имеется риск допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу).

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обозначают через .

82. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно. В целях общности обозначим эту величину через .

Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину , которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Для проверки гипотезы по данным выборок вычисляют частные значения входящих в критерий величин и таким образом получают частное (наблюдаемое) значение критерия.

Наблюдаемым значением К_набл называют значение критерия, вычисленное по выборкам.

После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другая – при которых она принимается.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

Поскольку критерий К – одномерная случайная величина, все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Поэтому критическая область и область принятия гипотезы также являются интервалами и, следовательно, существуют точки, которые их разделяют.

Критическими точками (границами) k_кр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.

Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К > k_кр , где k_кр – положительное число.

Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К < k_кр , где k_кр – отрицательное число.

Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенством К < k₁ , К > k₂ ,где k₂>k₁ . В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, то двусторонняя критическая область определяется неравенствами (в предположении, что k_кр>0): К < – k_кр , К > k_кр , или равносильным неравенством k_кр.

83. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей. На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, самих методов измерений. Очевидно, предпочтительнее тот прибор, инструмент и метод, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию.

Пусть две генеральные совокупности распределены нормально. По независимым выборкам с объемами, равными и , извлеченными из этих совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии и . Требуется по исправленным дисперсиям при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой: .

Учитывая, что исправленные дисперсии являются несмещенными оценками генеральных дисперсий, т.е. , , нулевую гипотезу можно записать так: .

Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т.е. генеральные дисперсии одинаковы, то различие исправленных дисперсий незначимо и объясняется случайными причинами, в частности случайным отбором объектов выборки. Если нулевая гипотеза отвергнута, т.е. генеральные дисперсии одинаковы, то различие исправленных дисперсий значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а является следствием того, что сами генеральные дисперсии различны.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы о равенстве генеральных дисперсий принимается отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, которое обозначается: _набл=s_Б²/s_М².

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы. Пусть нулевая гипотеза имеет вид: . Если конкурирующая гипотеза: , то строят правостороннюю критическую область; если конкурирующая гипотеза: , то строят двустороннюю критическую область.

Сформулируем правила проверки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия _набл и по таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора, по заданному уровню значимости и числам степеней свободы , ( – число степеней свободы большей исправленной дисперсии, – меньшей) найти критическую точку _кр . Если _набл < _кр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если _набл> _кр – нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе критическую точку _кр ищут по уровню значимости (вдвое меньше заданного) и числам степеней свободы и . Если _набл < _кр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если _набл> _кр – нулевую гипотезу отвергают.

Пример 27.1. Двумя методами произведены измерения одной и той же физической величины. Первым методом эта величина измерялась 10 раз, вторым – 8 раз. Получены следующие результаты: и . Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность? Уровень значимости принять . Предполагается, что результаты измерений распределены нормально и выборки независимы. Решение. Из условия следует, что необходимо проверить нулевую гипотезу (оба метода обеспечивают одинаковую точность) против альтернативной (второй метод измерений обеспечивает более высокую точность).

Вычислим наблюдаемые значения - критерия: _набл=0,00084 / 0,00041=2,05.

По таблице квантилей - распределения по уровню значимости и числу степеней свободы и находим критическую точку _кр . Так как _набл=2,05 , то нет оснований для отклонения нулевой гипотезы. Другими словами, имеющаяся информация о точности этих методов не дает основания считать, что второй метод измерения лучше первого.

84. Сравнение двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (большие независимые выборки). На практике при обработке результатов эксперимента, описываемого СВ , нередко возникает необходимость в решении задач «сравнения». Например, часто приходится сравнивать новый и старый технологические методы изготовления некоторых изделий; успеваемость в двух группах, применяющих различные методы обучения и т.д. В большинстве случаев распределение СВ предполагается нормальным, а изменения в «технологиях» сказывается на изменении математических ожиданий моделируемой нормальной совокупности. Таким образом, большинство задач сравнения сводится к проверке гипотез относительно математических ожиданий двух случайных величин, имеющих нормальное распределение.