35. Основные формулы комбинаторики.

Комбинаторика изучает количество комбинаций, подчинённых определённым условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества.

При непосредственном вычислении вероятности часто используют формулы комбинаторики.

1. Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающихся только порядком их расположения.

Число всех возможностей перестановок (20.2), где n!=1*2*3*…*n. Заметим, что 0!=1

2. Размещениями называются комбинации, состоящие из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком (где )

Число всех возможных размещений из n по m элементов находится по формуле:

Удобнее пользоваться другой: (20.3)

3. Сочетаниями называют комбинации, состоящие из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы 1 элементом.

Число сочетаний из n по m находится по формуле:

(20.4)

Отметим, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

Замечание. Выше предполагалось, что все n элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам.

Например, если среди n элементов есть элементов одного вида, элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторением находится по формуле: , где

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

1. Привило суммы: если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B может быть выбран n способами, то выбрать либо A, либо B можно n+m способами

2. Правило произведения: если объект A можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект B можно выбрать n способами, то пара объектов (A,B) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.

36. Теоремы сложения вероятностей.

Определение 20.3 Суммой A+B двух событий A и B называют событие, состоящее в появлении события A или B, либо обоих событий

Например, если из орудия произведены 2 выстрела и A—попадание при первом, B—при втором выстреле, то A+B—попадание при 1 выстреле, или при 2, или в обоих выстрелах.

В частности если 2 события A и B — несовместные, то A+B—событие, состоящее в появлении одного из событий, безразлично какого.

Определение 20.4 Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы 1 из этих событий.

Теорема 20.1 (теорема сложения вероятностей несовместных событий). Вероятность появления одного из 2 несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятности этих событий: (20.5)

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: (20.6)

Теорема 20.2 (теорема сложения вероятностей совместных событий)

Вероятность появления хотя бы 1 из 2 совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: (20.7)

Теорема 20.3 Сумма вероятностей событий , ,… , образующих полную группу, равна единице: (20.8)

Определение 20.5 Противоположным называют 2 единственно возможных события, образующих полную группу. Если 1 из 2 противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать через

Теорема 20.4 Сумма вероятностей противоположных событий равна единице

(20.9)

Замечание. Вероятность 1 из 2 противоположных событий обозначается через p, а вероятность другого — через q, тогда в силу теоремы 20.4 p+q=1