6.1.2. Задача оптимизации потребительского выбора

Сформулируем математически задачу оптимизации потребительского выбора, основанную на перечисленных в п.п. 6.1.1 гипотезах теории поведения потребителя. В соответствии с ними потребитель ведет себя рационально, если он максимизирует функцию полезности при бюджетном ограничении. Следовательно, формально его поведение описывается следующим образом:

(6.1.10)

при

. (6.1.11)

Решением задачи (6.1.10), (6.1.11) является такой потребительский набор (х₁*, х₂*) который, во-первых, является допустимым для потребителя (т.е. его стоимость не больше дохода М потребителя), а во-вторых, обеспечивает максимально возможный уровень полезности.

Задача (6.1.10), (6.1.11) является задачей математического программирования, где (6.1.10) – целевая функция, а (6.1.11) – допустимое множество переменных целевой функции. Ее особенность состоит в том, что вследствие аксиомы о ненасыщении (см. п.п. 6.1.1) для оптимальных точек, ограничение (6.1.11) выполняется как строгое равенство. Следовательно, решение задачи (6.1.10), (6.1.11) может быть заменено решением задачи на нахождение условного экстремума (максимума) функции полезности:

(6.1.12)

, (6.1.13)

Для решения этой задачи воспользуемся методом Лагранжа. Построим функцию Лагранжа (лагранжиан):

(6.1.14)

и найдем для нее точку безусловного максимума.

Необходимым условием существования экстремума (вследствие выпуклости функции полезности – максимума) для лагранжиана (6.1.14) является равенство нулю его первых производных, то есть:

; (6.1.15)

; (6.1.16)

. (6.1.17)

Соотношения (6.1.15) - (6.1.17) представляют собой систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными . Допустим, что его решением является (х₁*,х₂*,*). Тогда (х₁*,х₂*) будет решением задачи (6.1.12), (6.1.13). Решение (х₁*,х₂*,*) иногда называют точкой экстремума лагранжиана, а (х₁*,х₂*) – укороченной точкой.

Г еометрическая интерпретация решения задачи (6.1.12), (6.1.13) приведена на рис 6.1.5.

Обоснуем приведенное на рис.6.1.5 изображение равновесия потребителя. Согласно необходимому условию условного экстремума для оптимального набора потребителя выполняются условия (6.1.15) и (1.16). Обозначим . Тогда из (6.1.15), (6.1.16) следует, что

(6.1.18)

Левая часть равенства (6.1.18) представляет собой градиент² целевой функции U(x₁,x₂). Вектор цен в правой части является градиентом функции-условия , действительно

, а .

Следовательно, согласно (6.1.18) градиенты целевой функции и функции-условия пропорциональны c коэффициентом пропорциональности (-λ). Это означает, что линия уровня целевой функции (кривая безразличия) и нулевая линия уровня функции - условия G(х_1,х₂) (бюджетное ограничение: M–p₁x₁–p₂x₂=0) имеют общую касательную, которая перпендикулярна одновременно градиентам обеих функций в точке . Последнее означает, что кривая безразличия и линия бюджетного ограничения касаются в точке потребительского оптимума (которая является решением задачи (6.1.12) – (6.1.13)). Таким образом, изображенное на рис. 6.1.5 равновесие обосновано.

Набор товаров , который выбирает потребитель, характеризует спрос на рассматриваемые товары. Действительно, х₁*- это такое количество первого товара, которое потребитель «хочет и может» приобрести, т.е. – это величина рациональтного индивидуального спроса на первый товар, х₂* - величина рационального спроса на второй товар. Таким образом, решение задачи (6.1.12) – (6.1.13) для конкретных значений цен и дохода потребителя позволяет найти количественную оценку величины спроса на первый и второй товары

При изменении цен на товары бюджетная линия будет менять положение в пространстве товаров (см. рис.6.1.4 б), вследствие чего будут меняться и оптимальные наборы потребителя, т.е. величины спроса на товары. При изменении дохода потребителя (см. рис. 6.1.4 в) бюджетная линия будет перемещаться в пространстве товаров параллельно наклону исходной бюджетной линии. И при разной величине дохода потребитель будет выбирать отличающиеся один от другого наборы товаров, т.е. предъявлять различный спрос на товары. Изменение величины спроса на первый и второй товары при изменении цен и дохода говорит о том, что спрос на них зависит от изменения последних. Эта зависимость может быть описана с помощью соответствующих функций:

; (6.1.19 а)

. (6.1.19 б)

Функции (6.1.19) описывают зависимость величины спроса на первый и второй товары от изменения их цен и дохода потребителя при рациональном поведении потребителя на рынке. Они называются функциями спроса по Маршаллу (по Вальрасу). С математической точки зрения они описывают множество решений задачи (6.1.12) – (6.1.13) для различных значений параметров р₁, р₂ и М. Они могут быть найдены для любой конкретной функции полезности, описывающей предпочтения потребителя.

Функции спроса (6.1.19) являются однородными нулевой степени по всем переменным, то есть для любого имеет место соотношение

. (6.1.20)

Для доказательства этого утверждения перепишем задачу (6.1.12) – (6.1.13) в следующем виде:

(6.1.21)

. (6.1.22)

Так как , то делением левой и правой части уравнения (6.1.22) вновь приходим к задаче (6.1.12) – (6.1.13). Следовательно, решения задач (6.1.21), (6.1.22) и (6.1.12), (6.1.13) совпадают и, следовательно, выполняется условие однородности (6.1.20).

Подставив значения , определяемые (6.1.19), в функцию полезности, получим

. (6.1.23)

Функцию (6.1.23) принято называть косвенной (неявной) функцией полезности. Она представляет собой зависимость максимума функции полезности от величин р₁, р₂ и М.

Отметим следующие свойства функции косвенной полезности :

1. Функция является не возрастающей по : если , то при . Аналогично, если , то при . Это свойство отражает, то обстоятельство, что повышение стоимости товаров при ограниченном бюджете ведет к сокращению их потребления и, следовательно, снижает достижимый уровень полезности.

2. Функция является не убывающей по М, то есть, если М¹ > M², то при и . Это свойство отражает то обстоятельство, что увеличение дохода потребителя при стабильных ценах способствует увеличению количества потребляемых товаров и, следовательно, повышает достижимый уровень полезности.

3. Функция является однородной нулевой степени на множестве , то есть для любого имеет место соотношение

. Это свойство непосредственно следует из однородности функций спроса (6.1.19).

4. Функция является квазивыпуклой по .

5. - непрерывная функция для всех .

Пример 1.1. Пусть предпочтения потребителя заданы функцией полезности следующего вида: U(x₁,x₂)=x₁^1/2x₂^1/3. Необходимо определить функции спроса Маршалла.

Решение. Сформулируем задачу (6.1.12) – (6.1.13) для заданной функции полезности и найдем ее решение методом Лагранжа.

(6.1.24)

(6.1.25)

Согласно (6.1.14) решение задачи (6.1.24), (6.1.25) сводится к поиску безусловного максимума следующей функции:

.

Для нее

(6.1.26)

Соотношение (1.26) позволяет выразить х₂ через х_1. Имеем

(6.1.27)

Подставив (6.1.27) в (6.1.25) , получим функцию спроса Маршалла для первого товара:

. (6.1.28)

Подставив значение х₁* в соотношение (6.1.27) вместо х_1, получим функцию спроса Маршалла для второго товара:

. (6.1.29)

Функции спроса (6.1.28), (6.1.29) являются решением рассматриваемой задачи.

Зная функции спроса (6.1.19), можно исследовать влияние изменения цен и дохода на величину спроса потребителя.

Изменение спроса на первый товар, при изменении его цены можно оценить путем определения частной производной функции D₁(p₁,p₂,M) по переменной р₁.

Изменение спроса на первый товар при изменении цены второго товара можно оценить на основе частной производной функции D₁(p₁,p₂,M) по переменной р₂.

Влияние изменения дохода на величину спроса на первый товар можно оценить с помощью частной производной функции D₁ по доходу М. Выпишем эти частные производные для конкретных функций спроса из примера 1:

(6.1.30)

Как видно из (1.30), производная ∂D₁/∂p₁ отрицательна. Это говорит о том, что величина спроса на первый товар и цена товара изменяются в разных направлениях, что согласуется с законом спроса.

Частная производная ∂D₁/∂p₂ равна нулю. Следовательно, при изменении цены второго товара величина спроса на первый товар не меняется.

И наконец, частная производная ∂D₁/∂М положительна. Следовательно, величина спроса на первый товар и доход изменяются в одном направлении: с ростом дохода величина спроса растет, с уменьшением дохода – падает.

Можно продолжить анализ спроса потребителя на основе функций спроса (6.1.19).

Если в функции х₁*= D₁(p₁,p₂,M) зафиксировать значения переменных p₂ и M на некотором уровне, допустим p₂ =p₂˚ и M=М˚, то функция D₁ превратится по существу в функцию одной переменной, описывающей зависимость величины спроса на первый товар от его цены. График этой функции называется кривой спроса. Таким образом, благодаря знанию функции спроса D₁(p₁,p₂,M), мы смогли, применив правило «ceterus paribus» (при прочих равных условиях) перейти к кривой спроса, с анализа которой начинается изучение спроса в экономической теории.

Если в функции х₁*= D₁(p₁,p₂,M) зафиксировать значения переменных p₁ и p₂ на некотором уровне, допустим p₁=p₁˚ и p₂=p₂˚, то функция D₁ будет описывать зависимость величины спроса на первый товар от дохода М. График этой зависимости (функции) называется кривой Энгеля.

Далее анализ спроса можно углубить в следующем направлении. Если целью потребительского выбора является достижение максимальной полезности, возможной при заданных ценах и доходе потребителя, то, представляет интерес исследовать зависимость уровня достигаемой полезности от всевозможных значений цен и дохода. Знание функций спроса (1.19) позволяет провести такой анализ. Для этого воспользуемся функцией косвенной полезности (6.1.20).

Пример 1.2.. Построить функцию косвенной полезности для условий примера 1.1.

Решение.

D₁(p₁,p₂,M)=(3М)/5р₁, D₂(p₁,p₂,)=(2М)/5р₂. Откуда с учетом (6.1.20) получим косвенную функцию полезности v(p₁,p₂,M)=((3М)/5р₁)^1/2(2М)/5р₂)^1/3).

После несложных преобразований можно ее можно привести к следующему виду:

(6.1.31)

Соотношение (6.1.31) является косвенной функцией полезности для прямой функции примера 6.1.1.