1.3. Выбор потребителя при заданной полезности

При анализе поведения потребителя наряду с задачей оптимизации потребительского выбора (6.1.12), (6.1.13) часто возникает задача другого рода. Ее суть состоит в следующем. Задана некоторая кривая безразличия и цены товаров. Потребитель желает выбрать из множества одинаково полезных наборов такой, который является самым дешевым, т.е. минимизирует его расходы при заданных ценах на товары.

Будем называть эту задачу связанной с задачей (6.1.12), (6.1.13). Формально она может быть записана следующим образом:

; (6.1.32)

. (6.1.33)

Задача (6.1.32), (6.1.33) также как и задача (6.1.12), (6.1.13), является задачей на нахождение условного экстремума и может быть решена методом Лагранжа. Согласно геометрической интерпретации данного метода, оптимальный набор товаров для задачи (6.1.32), (6.1.33) является точкой касания некоторой линии уровня целевой функции и нулевой линии уровня функции-ограничения G(x₁,x₂)=u-U(x₁,x₂) (см. рис.6.1.6).

Рис. 6.1.6

Нетрудно заметить, что оптимальный набор X⁰ = (х₁⁰, х₂⁰) (решение) задачи (6.1.32), (6.1.33) зависит от уровня полезности и соотношения цен на продукты, задающего наклон линий уровня линейной целевой функции. Это означает, что величина спроса на первый товар х₁⁰ и величина спроса на второй товар х₂⁰ при выборе потребителя в соответствии с условиями задачи (6.1.32), (6.1.33) зависят от уровня полезности и цен товаров. Другими словами, спрос на первый и второй товары могут быть описаны как некоторые функции от цен и полезности. Обозначим их через х₁⁰=H₁(p₁,p₂,u) и х₂⁰=H₂(p₁,p₂,u) для первого и второго товаров, соответственно. Эти функции называются функциями спроса Хикса. Они описывают множество решений задачи (6.1.32), (6.1.33) и позволяют исследовать динамику спроса при изменении полезности и цен. Кроме того, благодаря функциям спроса Хикса минимальный расход на оптимальный потребительский набор m⁰=p₁ x₁⁰+p₂x₂⁰ может быть исследован в зависимости от уровня полезности и цен. Для этого функции спроса H₁ и H₂ следует подставить в целевую функцию (6.1.32):

m= p₁H₁(p₁,p₂,u)+p₂ H₂(p₁,p₂,u) .

Полученная функция называется функцией расходов и обозначается m(p₁,p₂,u)

Приведем свойства функции m(p₁,p₂,u) расходов:

1. Функция m(p₁,p₂,u) является не возрастающей по р₁, р₂.

2. Функция m(p₁,p₂,u) является однородной первой степени по р₁, р₂.

3. Функция m(p₁,p₂,u) является вогнутой по р₁, р₂.

4. Функция m(p₁,p₂,u) непрерывна в пространстве цен р₁, р₂, для р₁>0, р₂>0.

Пример 3. Вывести функции спроса Хикса и функцию расходов для функции полезности из примера 1.

Решение

Сформулируем задачу потребительского выбора, связанную с задачей (6.1.12), (6.1.13), и решим ее методом Лагранжа. Исходя из (6.1.32), (6.1.33) эта задача имеет вид :

(6.1.34)

U(x₁,x₂) = x₁^1/2x₂^1/3 = u (6.1.35)

Построим функцию Лагранжа: L(x₁,x₂,)=p₁x₁+ p₂x₂+(u-x₁^1/2x₂^1/3) и найдем для нее точку минимума : (x₁⁰,x₂⁰,⁰).

L(x₁,x₂,)=p₁x₁+ p₂x₂+(u-x₁^1/2x₂^1/3)→ min. (6.1.36)

Согласно необходимому условию экстремума функции трех переменных для точки (x₁⁰,x₂⁰,⁰ ) выполняются следующие соотношения:

L/x₁=р₁-x₂^1/3/2 x₁^1/2=0 или p₁=x₂^1/3/2 x₁^1/2, (6.1.37)

L/x₂=p₂-x₁^1/2/3 x₂^2/3=0 или p₂=x₁^1/2/3 x₂^2/3, (6.1.38)

L/=u–x₁^1/2x₂^1/3=0. (6.1.39)

Исключим из уравнений (6.1.37), (6.1.38) переменную λ. Это позволит выразить переменную x₂ через x₁: x₂=2р₁х₁/3р₂.

Заменив в уравнении (6.1.39) x₂ на его выражение через x₁, получим:

и (6.1.40)

Мы вывели функции спроса Хикса для заданной функции полезности U=x₁^1/2x₂^1/3.

Они описывают множество решений задачи (6.1.24), (6.1.25) , т.е. зависимость величины спроса на товары от уровня полезности и цен (см. формулы (6.1.40) для x₁⁰ и x₂⁰). Подставив в (6.1.25) найденные функции x₁⁰ и x₂⁰, получим:

. (6.1.41)

Величина p₁x₁⁰+p₂x₂⁰ является стоимостью самого дешевого набора на кривой безразличия, заданной уравнением (6.1.25), и заданных ценах товаров. Как видно из (6.1.41) она зависит от уровня полезности и цен, т.е. является функцией расходов для потребителя, предпочтения которого описываются функцией полезности U(x₁,x₂) = x₁^1/2x₂^1/3.