- •Глава 1. Основные понятия
- •§1 Операции над комплексными числами
- •§2 Комплексная плоскость
- •§3 Некоторые понятия, относящиеся ко множествам. Кривые на комплексной плоскости.
- •§4 Функции комплексного переменного
- •§5 Функциональные последовательности и ряды
- •§6 Степенные ряды
- •Глава 2. Аналитические функции. Конформные отображения.
- •§1 Аналитические функции
- •§2 Конформные отображения
- •Глава 3. Примеры конформных отображений
- •§1 Дробно линейное отображение
- •§3 Функция
- •§4 Функция Жуковского
- •§7 Таблица некоторых конформных отображений.
- •Глава 4. Теория интеграла
- •§1. Понятие интеграла. Теорема Коши.
- •§2 Интеграл Коши
- •§3 Первообразная.
- •Глава 5. Ряды Тейлора и Лорана
- •§1 Ряд Тейлора аналитической функции
- •§2 Единственность аналитической функции. Принцип максимума модуля.
- •§3 Ряды Лорана
- •§4 Изолированные особые точки однозначных аналитических функций.
- •Глава 6. Элементы теории вычетов и их использование при вычислении интегралов
- •§1 Вычеты
- •§2. Вычисление интегралов
- •§3 Простейшие классы аналитических функций.
- •Глава 7. Преобразование Лапласа.
- •§1 Преобразование Лапласа.
- •§2 Свойства преобразования Лапласа
- •Глава 8. Приложения.
- •§1 Комплексный потенциал
- •§2 Операционное исчисление
Глава 6. Элементы теории вычетов и их использование при вычислении интегралов
§1 Вычеты
1.Определение вычета в конечной изолированной особой точке
Пусть изолированная особая точка. В этом случае существует кольцо , где f – аналитическая функция.
Определение. Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке называется величина
, где - окружность достаточно малого радиуса, положительно ориентированная.
Определение корректно. Действительно, для контуров, лежащих в кольце K интеграл не меняется при деформациях окружности.
По теореме Лорана .
Откуда следует, что , таким образом,
.
Пусть a – полюс порядка n , в этом случае, как мы видели, справедливо разложение:
, где .
Тогда и
. Таким образом,
В частности, для полюса первого порядка
.
Еще одна формула для вычисления вычета в полюсе первого порядка:
Пусть - аналитические, ( имеет нуль кратности один). Тогда
.
Действительно, что при сделанных предположениях . Кроме того, , откуда следует, что . Поэтому
2.Вычет в изолированной особой точке .
Если изолированная особая точка функции f, то существует кольцо , где f аналитична.
Определение . Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке называется величина
,
где - окружность с центром в начале координат, радиуса , проходимая по часовой стрелке (отрицательно ориентированная и достаточно большого радиуса).
Для изолированной особой точки из теоремы Лорана следует, что , где . Поэтому .
3.Теоремы о вычетах.
Основная теорема. Пусть D - ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно-гладкой кривой Жордана , f(z) – аналитическая в D, кроме конечного числа изолированных особых точек ak, k=1,…,n, f непрерывна в . Тогда
.
Окружаем каждую точку ak достаточно малой окружностью , ориентированной положительно.
Рис. 6.1.
Тогда , откуда и следует требуемое утверждение.
Теорема о сумме вычетов. Если функция f аналитична в С кроме конечного число точек , то
.
Выберем окружность C достаточно большого радиуса так, чтобы все точки попали внутрь. По предыдущей теореме .
4. Принцип аргумента.
Теорема. D- ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно гладкой кривой Жордана , f(z) – аналитическая в D, кроме конечного числа полюсов ak, , k=1,…,p, порядков , f непрерывна в в , кроме нулей , кратностей . Тогда
,
где суммарный порядок полюсов, а суммарная кратность нулей.
Доказательство.
Выберем достаточно малые окрестности нулей, границы которых и окрестности полюсов функции f(z) с границами .
Рис. 6.2.
Как это уже не однократно отмечалось:
.
В некоторой окрестности нуля b кратности справедливы равенства:
Вклад в сумму соответствующего слагаемого: .
Аналогично, в некоторой окрестности полюса будет выполнено:
и соответствующее слагаемое будет равно: , откуда
Теорема. Принцип аргумента ( без доказательства ) В условиях предыдущей теоремы:
(D - ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно гладкой кривой Жордана – аналитическая в D, кроме конечного числа полюсов ak, , порядков непрерывна в в , кроме нулей bk кратностей . ) Справедливо равенство
где - приращение аргумента функции f при однократном обходе точкой z границы ( область слева ).
Основная теорема алгебры. Всякий многочлен P(z)=Pn(z) в комплексной плоскости имеет ровно n корней (учитывается суммарная кратность нулей).
Доказательство. следовательно, все нули лежат в некотором круге радиуса R, пусть число нулей с учётом кратностей равно N. Тогда , далее
, где аналитична в . Поэтому имеем разложение в ряд Лорана , тогда
, откуда следует .