§5 Функциональные последовательности и ряды

Если f_n(z) - однозначные функции, то комплексный ряд определяется, как сумма

= .

Ряд называется равномерно сходящимся на D, если его частичные суммы равномерно сходятся на D к некоторой функции S(z), т. е.

.

Критерий Кош равномерной сходимости: Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно выполнения условия Коши

.

Следствие (Необходимое условие сходимости). Если ряд сходится в точке z , то общий член этого ряда стремится к нулю в этой точке.

Аналогичное утверждение можно сформулировать для равномерной сходимости:

Если ряд равномерно сходится на D , то общий член этого ряда равномерно стремится к нулю на D.

Достаточный признак Вейерштрасса:

Если и числовой вещественный ряд сходится, то ряд сходится на D равномерно.

Полезная теорема. Сумма равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций (равномерная сходимость на компакте), есть функция непрерывная.

§6 Степенные ряды

1. Основные свойства степенных рядов.

Напоминание: Признаки Даламбера и Коши для положительных рядов (вещественных) .

Даламбер: Если для положительного ряда существует предел , то при q < 1, ряд сходится, при q > 1, расходится.

Определение верхнего предела .

Коши: Если для положительного ряда существует предел , то при q < 1, ряд сходится, при q > 1, расходится.

Комплексные степенные ряды: или

(1)

Теорема 1 (Первая теорема Абеля ) Если ряд (1) сходится в точке z₀  0, то он сходится абсолютно в круге |z| < |z₀|.

Рис. 1.13.

Доказательство: Ряд сходится, следовательно, согласно необходимому условию сходимости ряда, будет выполнено , откуда следует, что . Поэтому для общего члена ряда (1) можно выписать оценку: , при . Таким образом, ряд из модулей исходного ряда мажорируется (оценивается сверху) сходящимся рядом в каждой точке круга .

Следствие 1. Для любого степенного ряда (1) существует число такое, что при |z|<R ряд сходится, при |z|>R ряд расходится. Это число называется радиусом сходимости степенного ряда. Круг {|z| < R} называется кругом сходимости.

Следствие 2. Радиус сходимости комплексного степенного ряда совпадает с радиусом сходимости вещественного степенного ряда .

Для этого утверждения необходимо сначала показать, что ряды и имеют один и тот же радиус сходимости.

Действительно, пусть их круги сходимости имеют радиусы R₁, R₂. Во всех точках |z|<R₁ ряд сходится абсолютно и, следовательно, ряд тоже сходится абсолютно, т.к. модули общих членов этих рядов одинаковы. По этой же причине справедливо обратное утверждение, во всех точках |z|<R₂ будет сходится абсолютно не только ряд , но и ряд . После этого можно рассмотреть ряды и и показать, что они имеют один и тот же радиус сходимости, используя первую теорему Абеля.

В частности, справедливо

Следствие 3. Комплексный ряд с вещественными коэффициентами имеет тот же радиус сходимости, что и вещественный ряд с этими коэффициентами.

Теорема 2 (Вторая теорема Абеля ) Если ряд имеет радиус сходимости R, то он сходится равномерно в любом замкнутом круге радиуса r < R.

Рис. 1.14.

Доказательство: По первой теореме Абеля ряд сходится, кроме того для всех z: |z| r. По признаку Вейерштрасса ряд сходится равномерно на этом множестве.

Теорема (Коши, Адамар) Радиус сходимости ряда определяется по формуле .

Согласно следствию 2 из первой теоремы Абеля, радиус сходимости комплексного степенного ряда совпадает с радиусом сходимости вещественного степенного ряда , радиус сходимости которого определяется по формуле .

Примеры:

1) , имеем c_n = 0, если n  k², c_n = 2^k, если n = k². Поэтому , так остальные коэффициенты при n  0,c_n=0. Далее .

2) Функция . По определению полагаем

, по признаку Даламбера радиус сходимости такого ряда будет равен R = . То же самое можно установить, используя следствие 2 из первой теоремы Абеля .

3) Функция . По определению полагаем

, рассматривая соответствующий вещественный ряд и используя следствие 2 из первой теоремы Абеля, получим R = . Из определения следует, что sin (-z) = - sin z.

4) Функция . По определению полагаем

, рассматривая соответствующий вещественный ряд и, используя следствие 2 из первой теоремы Абеля, получим R = . Из определения следует, что cos (-z) = cos z.

5) Функция . По определению полагаем

, рассматривая соответствующий вещественный ряд и, используя следствие 2 из первой теоремы Абеля, получим R = .

6) Функция . По определению полагаем

, рассматривая соответствующий вещественный ряд и, используя следствие 2 из первой теоремы Абеля, получим R = .

2. Свойства экспоненциальной и основных тригонометрических функций.

a) , действительно .

Следствие:

c) .

Пример: при y . Синус (и косинус) по модулю может быть больше единицы в комплексной области.

d) e^u+v=e^u e^v

e) , таким образом 2 i является периодом, откуда следует, что sin и cos имеют период 2 и в комплексной области.

f) Из c) и d) следует, что sin² z + cos² z = 1 (непосредственная проверка).

g) sin iz = i sh z, cos iz = ch z, ch²z – sh²z = 1. Доказывается, используя формулы Эйлера.