- •Глава 1. Основные понятия
- •§1 Операции над комплексными числами
- •§2 Комплексная плоскость
- •§3 Некоторые понятия, относящиеся ко множествам. Кривые на комплексной плоскости.
- •§4 Функции комплексного переменного
- •§5 Функциональные последовательности и ряды
- •§6 Степенные ряды
- •Глава 2. Аналитические функции. Конформные отображения.
- •§1 Аналитические функции
- •§2 Конформные отображения
- •Глава 3. Примеры конформных отображений
- •§1 Дробно линейное отображение
- •§3 Функция
- •§4 Функция Жуковского
- •§7 Таблица некоторых конформных отображений.
- •Глава 4. Теория интеграла
- •§1. Понятие интеграла. Теорема Коши.
- •§2 Интеграл Коши
- •§3 Первообразная.
- •Глава 5. Ряды Тейлора и Лорана
- •§1 Ряд Тейлора аналитической функции
- •§2 Единственность аналитической функции. Принцип максимума модуля.
- •§3 Ряды Лорана
- •§4 Изолированные особые точки однозначных аналитических функций.
- •Глава 6. Элементы теории вычетов и их использование при вычислении интегралов
- •§1 Вычеты
- •§2. Вычисление интегралов
- •§3 Простейшие классы аналитических функций.
- •Глава 7. Преобразование Лапласа.
- •§1 Преобразование Лапласа.
- •§2 Свойства преобразования Лапласа
- •Глава 8. Приложения.
- •§1 Комплексный потенциал
- •§2 Операционное исчисление
Глава 2. Аналитические функции. Конформные отображения.
§1 Аналитические функции
1. Дифференцируемость. Условия Коши-Римана, моногенность.
Пусть f(z) – однозначная функция в области D C, . Обозначения: .
Определение. Функция f(z) называется моногенной в точке , если существует конечный предел , который называется производной в точке. В этом случае говорят также, что функция дифференцируема в смысле комплексного анализа.
Замечание: Для существования f(z0) необходимо и достаточно, чтобы в некоторой проколотой окрестности точки z0 имело место представление
- бесконечно малая при z→z0 . (A = f(z0)). Это условие можно записать в виде: , так как и поэтому .
Теорема (Условие моногенности). Для того, чтобы однозначная функция f(z) = u(x,y) + i v(x,y) была моногенной в точке z0 необходимо, а в случае дифференцируемости u, v и достаточно, выполнения условий Коши-Римана
.
Необходимость: При вычислении предела возьмём z = x, тогда f(z0) = ux +ivx. Если брать z = iy, то . Сравнивая, получим требуемые соотношения.
Достаточность: В силу дифференцируемости
(1)
Используя условия Коши-Римана, получаем
Замечание 1. Если функции дифференцируемы, то
.
Действительно, в случае дифференцируемости имеет место равенство (1)
Покажем, что . Действительно: поэтому
Замечание 2. Выполнение равенства и условий Коши-Римана эквивалентно равенству .
Замечание 3*. Условия Коши-Римана в полярных координатах
(CR)
Действительно:
Далее . Решая эту систему, получим:
Аналогично
,
откуда следует
Тогда и .
Замечание. Так как , то в случае дифференцируемости u, v,
Таким образом, зависит от направления , если , и, наоборот, для моногенной функции (в этом случае ) этот предел не зависит от направления стремления .
2.Голоморфные функции. Аналитичность.
Однозначная функция w=f(z) комплексного переменного, моногенная в некоторой окрестности точки z0 , называется аналитичной в точке z0.
Функция называется голоморфной в области D, если она аналитична в каждой точке области D. В этом случае говорят об аналитичности в области.
Вместо слова моногенность употребляют выражение дифференцируемость в смысле комплексного анализа, или просто дифференцируемость.
Так же, как для пределов действительных функций и производных действительных функций доказываются обычные свойства пределов и правил дифференцирования. Например, имеют место следующие свойства:
сумма двух аналитичных в точке функций будет аналитичной функцией в этой точке и (f(z) + g(z))=f (z)+g(z)
Произведение и частное двух аналитичных в точке функций будет аналитичной функцией в этой точке и
В последнем случае, предполагается, что .
Таблица производных аналитических функций выглядит так же, как и для действительных функций.
Пример: . Отметим, что . Действительно,
Поэтому
.
Многочлен: , рациональная функция и дробно- рациональная функция: аналитичны всюду, где они определены.
Сложная функция. Пусть аналитична и однозначна в , а f аналитична в D и осуществляет однозначное отображение D в , тогда суперпозиция w=g(f(z)) аналитична в D. Справедливо обычное правило дифференцирования сложной функции
.
Теорема. Сумма степенного ряда есть аналитическая функция внутри круга сходимости и в этом круге ряд можно почленно дифференцировать.
Доказательство: Обозначим . Радиус сходимости ряда совпадает с радиусом сходимости исходного ряда , так как .
Пусть , выберем , удовлетворяющее условию , где R -радиус сходимости рядов . Рассмотрим круг K с центром в и радиуса . Для будет .
Рис. 2.1.
Степенной ряд сходится абсолютно при , поэтому для заданного существует такое, что .
Для этого N выбираем так, чтобы при выполнялось неравенство
,
тогда при будет выполнено неравенство . Действительно, имеем
Следствие 1. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в круге сходимости любое число раз.
Пример: Доказать, что . Дифференцируем почленно
.
Пример: Доказать, что . Использовать формулы Эйлера. Например, для sin z :
.
Следствие 2. Если степенной ряд сходится в круге к функции f(z), то
Доказательство: Дифференцировать p раз
и подставить z=z0.
Определение. Если f(z) имеет производные любого порядка, то ряд называется рядом Тейлора функции f(z).
Как это видно из Следствия 2, ряд является рядом Тейлора своей суммы. Из следствия 2 также следует теорема единственности разложения в степенной ряд:
Теорема. Если два ряда и совпадают в круге , то ak=bk.
Определение. Функция f(z) называется регулярной в точке z0 , если она определена в окрестности точки z0 и в некоторой окрестности этой точки
Функция называется регулярной в области, если она регулярна в каждой точке этой области.
3.Гармонические функции. Сопряженные функции.
Функция называется гармонической в области D, если она имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа
.
Две гармонические функции называются сопряженными, если они связаны между собой условиями Коши-Римана.
Теорема. Если гармоническая функция в связной области D , то для нее существует семейство сопряженных функций, определяемых по формуле
.
Эти функции отличаются на аддитивную постоянную, зависящую от выбора начальной точки
Доказательство . Из условия гармоничности функции следует, что поле потенциальное, тогда его потенциал находится по формуле . Так как , то , следовательно функция является сопряженной к функции Что и требовалось доказать.
Замечание. Если функция f(z) аналитическая в области D , то ее действительная и мнимая части будут сопряженными гармоническими функциями. И, наоборот, по двум сопряженным функциям восстанавливается аналитическая функция .
Эти утверждения непосредственно следуют из теоремы об условиях моногенности.