§3 Функция

1.Отображение .

Нарушение условия однолистности: , в то время, как , или , поэтому в областях вида однолистность нарушаться не может. Каждая из таких областей однолистно отображается на плоскость с разрезом по положительной части вещественной оси.

Рис. 3.23.

pic3_23

Пример.

Рис. 3.24.

pic3_24

Пример:

Рис. 3.25.

2.Обратная функция.

Если , то откуда для обратной функции При k=0 получаем ln w. Для поверхность Римана набирается из счетного числа листов, имеющих разрез по положительной части вещественной оси и склеиваемых друг с другом последовательно.

Рис. 3.26.

§4 Функция Жуковского

Определена, однозначна и аналитична всюду в C кроме z=0.

при , таким образом, эта функция аналитична и конформна в любой точке , кроме .

Нарушение однолистности. , откуда следует, что однолистность нарушается в точках таких, что . Областью однолистности является, например, каждое из следующих множеств .

Пусть , тогда

(1)

Следовательно, окружность r=r₀ переходит в эллипс с полуосями . Фокусы в точках c =  1.

Из (1) следует, что лучи переходят в гиперболы с фокусами 1. Асимптоты гипербол . Функция Жуковского переводит внешность единичного круга на плоскость с разрезом по отрезку [-1,1].

Рис. 3.27.

Рис. 3.28.

pic3_28

Пример. Функция Жуковского .

Рис. 3.29.

pic3_29

Функция Жуковского .

Рис. 3.30.

pic3_30

Щель на действительной оси получена в результате «сплющивания» единичной окружности .

Рис. 3.31.

2.Обратная функция

. Рассмотрим область в плоскости w, плоскость с щелью . Первая однозначная ветвь f₁(w) переводит D* в |z|<1, вторая ветвь f₂(w) переводит D* в |z|>1. Точки w=1 являются точками ветвления.

§7 Таблица некоторых конформных отображений.

1) , точка отображается в 0, симметричная относительно единичной окружности точка отображается в , поэтому, образом единичной окружности будет единичная окружность.

Рис. 3.32.

2) Верхняя полуплоскость на единичный круг. .

Рис. 3.33.

3) Угол на верхнюю полуплоскость . Напоминание . Здесь, в действительности, должна выбираться одна из однозначных ветвей функции .

4) В частности отображает первый квадрант на верхнюю полуплоскость.

5) Плоскость с разрезом по положительной части вещественной оси на верхнюю полуплоскость .

6)

Рис. 3.34.

7) Частный случай

Рис. 3.35.

8) Частный случай

Рис. 3.36.

9)

Рис. 3.37.

10)

Рис. 3.38.

Рис. 3.39.

12)

Рис. 3.40.

13)

Рис. 3.41.

14)

Рис. 3.42.

Пример. Отобразить область

Рис. 3.43.

Решение

Рис. 3.44.

Пример.

Рис. 3.45.

(нужная ветвь) на верхнюю полуплоскость, затем .

Пример. Отобразить верхнюю полуплоскость с вырезанными полукругами на верхнюю полуплоскость.

Рис. 3.46.

Все три обобщенные окружности проходят через точку 0, поэтому, если перевести 0 в отображением , то образы будут прямыми линиями. Беря какие либо симметричные точки относительно , найдем симметричные точки относительно прямых в плоскости . Возьмем в качестве симметричных точек относительно точки , образами которых будут и поэтому будет вещественной осью. Для возьмем 1, , образами которых будут 1,0, следовательно - вертикальная прямая, проходящая через точку 1/2. Для возьмем -1, с образами -1,0. - вертикальная прямая, проходящая через точку -1/2.

Рис. 3.47.

Сделаем поворот на 90 градусов и сдвиг вверх на 1/2: . В результате получаем полуполосу, показанную не рисунке.

Рис. 3.48.

Далее растяжение в раз: . Полученную полу-полосу переведем в верхнюю плоскость с вырезанным полукругом: , которая переводится в верхнюю полуплоскость функцией Жуковского: . Итоговое отображение получается суперпозицией найденных отображение: