§2 Конформные отображения

1. Существование обратной функции для аналитической функции в окрестности точки

Пусть f(z) = u(x,y) +iv(x,y) аналитична в точке z₀ и f(z₀)0

w=f(z): .

Якобиан в окрестности точки z₀. Следовательно, имеет смысл коэффициента искажения площади в точке при отображении и существует обратная функция в некоторой окрестности точки , причём

.

2. Геометрический смысл аргумента производной.

Пусть -гладкая кривая Жордана, .Обозначим образ кривой при отображении f. Предположим, что f(z) аналитическая в точке z₀ функция и .

Имеем . Так как при умножении комплексных чисел аргументы складываются, то

Если - главные значения аргументов, - угол поворота кривой в точке z₀ при отображении w = f(z), определяемый с точностью до . Как видим, этот угол не зависит от выбора кривой, проходящей через данную точку.

Рис. 2.2.

В частности, если в плоскости z пересекаются две кривые , имеющие в точке пересечения главные значения аргументов , а их образы при отображении w=f(z), соответственно, углы , то мы получим , откуда, вычитая одно равенство из другого, получим . Полученное равенство позволяет сформулировать следующее

Следствие. При сделанных предположениях (аналитичность в точке и неравенство нулю производной ) углы при отображении сохраняются. Кроме того, сохраняется «порядок обхода». Например, если поворот от касательной к первой кривой в точке пересечения к касательной второй кривой в плоскости z происходит против часовой стрелки, то тоже самое будет наблюдаться и в плоскости w между образами этих кривых.

Пример: . Обратить внимание на сохранение углов и направлений поворота (9 точек пересечений)

pic2_3

3. Геометрический смысл модуля производной.

Таким образом, -коэффициент линейного растяжения кривой в точке при заданном отображении.

Коэффициент растяжения кривой в точке, не зависит от кривой, проходящей через эту точку. Это коэффициент равен |f(z₀)|. Это свойство называется свойством сохранения масштаба в точке z₀. Как уже отмечалось, является коэффициентом растяжения площади в точке z₀ при этом отображении.

Пример: Обратить внимание на изменение площади при отображении в окрестности точки . Линейные размеры увеличиваются приблизительно в 2 раза ( ). Площадь в 4 раза.

pic2_4

4. Конформные отображения.

Определение (Конформность в C). Непрерывное, взаимнооднозначное отображение w=f(z) области D на область D* называется конформным, если в каждой точке D имеет место

1. свойство сохранения углов

2. сохранение масштабов

в перечисленном выше смысле.

Как мы видели, если f(z) аналитична в точке z₀ и f(z₀), то отображение w=f(z) конформно в некоторой окрестности точки z₀.

Определение. Если две кривые пересекаются в бесконечности, например, при , то углом между кривыми в бесконечности называется угол в 0 между образами этих кривых при отображении , то есть между кривыми в точке .

Аналогично, определяется понятие «изменение линейных размеров кривой» в бесконечности. Именно, если , то в точке изменение линейных размеров определяется по образу кривой . И в том и в другом случае предварительно переводится в 0 отображением . С учетом этих определений дается определение конформности в .

Определение (Конформность в расширенной комплексной плоскости ). Непрерывное, взаимно однозначное отображение w=f(z) области D на область D* в называется конформным, если в каждой точке D имеет место

1) свойство сохранения углов

2) сохранение масштабов

Если требуется исследовать вопрос об угле или коэффициенте растяжения кривой при , то эту задачу можно решить, рассматривая кривую в точке . При решении задач об изменении углов и масштабов в при отображении можно руководствоваться следующей таблицей

Решение задач с преобразованием углов и масштабов при отображении w=f(z)
Задача	Решение
1.	См.
2.	См. в точке w0 0
3.	См. в точке z0
4.	См. в точке w0 0

Пример 1. Исследовать на конформность функцию в расширенной комплексной области.

Решение. В точках отличных от i и  конформность следует из существования производной и не равенства её нулю

.

В точке z=i значение функции w=, поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования производной и не равенства её нулю при , .

В точке z= значение функции w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 ( с помощью замены переменного ). Таким образом, для исследования берётся функция в точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля, .

Пример 2. Исследовать на конформность в точке z= функцию w=i z - 2.

Решение. Во всех точках z производная существует и не равна нулю. При z= , w=, поэтому, согласно определению, необходимо сделать две замены: , и . В итоге, для исследования на конформность имеем функцию в окрестности точки . Эта функция в точке имеет производную не равную нулю, .

Пример 3: Докажем непосредственно свойство сохранения углов в т. 2i при отображении .

Пусть и выходят из точки 2i. Для первой кривой , для второй . Кроме того Точка 2i переходит в бесконечность, поэтому будем искать углы между кривыми и в точках , соответственно. Для этих кривых имеем , поэтому угол между образами w_k в бесконечности будет равен:

Некоторые свойства конформных отображений ( без доказательства )

Свойство сохранения области. Если f(z) аналитична и однолистна (взаимнооднозначна) в области D, то f(z)0 в D и f(z) конформно отображает D на D* . Кроме того, f ^-1(w) аналитична в D*, где D* образ D при отображении f(z).

Свойство сохранения границ. Пусть D и D* две области, ограниченные замкнутыми кривыми Жордана и . Если f(z) отображает D на D* конформно, то она отображает на взаимнооднозначно и взаимно непрерывно с сохранением направления обхода границы.

Свойство взаимнооднозначного соответствия. Пусть D и D* две односвязные области, ограниченные замкнутыми кусочно-гладкими кривыми Жордана и . Если аналитическая в D функция взаимнооднозначно и непрерывно отображает на с сохранением обхода, то эта функция конформно отображает D на D*.

Теорема ( Риман ). Если граница односвязной области состоит более, чем из одной точки, то существует аналитическая функция, конформно отображающая D на внутренность круга |z|<1, причём эта функция единственна, если задать условия нормировки ( например, перевести заданную точку z₀ с заданным направление в заданную точку w₀ с заданным направлением.