- •Глава 1. Основные понятия
- •§1 Операции над комплексными числами
- •§2 Комплексная плоскость
- •§3 Некоторые понятия, относящиеся ко множествам. Кривые на комплексной плоскости.
- •§4 Функции комплексного переменного
- •§5 Функциональные последовательности и ряды
- •§6 Степенные ряды
- •Глава 2. Аналитические функции. Конформные отображения.
- •§1 Аналитические функции
- •§2 Конформные отображения
- •Глава 3. Примеры конформных отображений
- •§1 Дробно линейное отображение
- •§3 Функция
- •§4 Функция Жуковского
- •§7 Таблица некоторых конформных отображений.
- •Глава 4. Теория интеграла
- •§1. Понятие интеграла. Теорема Коши.
- •§2 Интеграл Коши
- •§3 Первообразная.
- •Глава 5. Ряды Тейлора и Лорана
- •§1 Ряд Тейлора аналитической функции
- •§2 Единственность аналитической функции. Принцип максимума модуля.
- •§3 Ряды Лорана
- •§4 Изолированные особые точки однозначных аналитических функций.
- •Глава 6. Элементы теории вычетов и их использование при вычислении интегралов
- •§1 Вычеты
- •§2. Вычисление интегралов
- •§3 Простейшие классы аналитических функций.
- •Глава 7. Преобразование Лапласа.
- •§1 Преобразование Лапласа.
- •§2 Свойства преобразования Лапласа
- •Глава 8. Приложения.
- •§1 Комплексный потенциал
- •§2 Операционное исчисление
Глава 4. Теория интеграла
Далее всюду в этой главе рассматриваются однозначные функции.
§1. Понятие интеграла. Теорема Коши.
1.Интеграл и его свойства. Для кривой и функции f(z), определенной на ней, рассматриваются интегральные суммы .
Рис. 4.1.
Интеграл определяется, как предел этих сумм в стандартном смысле (характеристика стремится к нулю, предел не зависит от выбора разбиения и промежуточных точек ) и обозначается . Если кривая имеет параметризацию , с непрерывной производной, то интегральные суммы в определении будут выглядеть следующим образом
.
Для непрерывной функции f(z) и непрерывно дифференцируемой кривой эти суммы будут сходиться к интегралу . Расписывая действительную и мнимую части, интеграл можно выразить через криволинейные интегралы
.
Это равенство можно принять за эквивалентное определение интеграла в случае, когда последние два интеграла существуют.
Из свойств криволинейных интегралов следуют соответствующие свойства интеграла по заданной кривой:
1) Линейность: .
2) Аддитивность по множеству:
.
3) .
4) , где l – длина кривой. Это неравенство следует из определения (оценка интегральных сумм).
5) Если - кусочно гладкая и сходится равномерно на к , то . Это следует из предыдущего свойства.
6) Определение интеграла по границе многосвязной области. Пусть граница области и . Обход по каждому связному куску границы происходит так, что область остается слева
Рис. 4.2.
pic4_2
2.Теорема Коши.
Если D- ограниченная область, , граница которой - кусочно гладкая Жорданова кривая из D, гомотопная нулю (область, ограниченная этой кривой, односвязна ) и f аналитическая в D , непрерывная в , то .
Доказательство. Для действительной и мнимой частей интеграла воспользуемся формулой Грина и условиями Коши-Римана:
Формула Грина справедлива и для многосвязных областей. Поэтому справедлива
Обобщенная теорема Коши. Пусть D- ограниченная область с границей , а f - функция, аналитическая в D и непрерывная в , тогда .
Следствие. В области D интеграл от аналитической функции не зависит от пути интегрирования, а только от начальной и конечной точек кривой.
Таким образом, интеграл от аналитической функции в многосвязной области D не изменяется, если путь интегрирования непрерывно деформировать, оставляя неподвижными концы.
§2 Интеграл Коши
1.Интегральная формула Коши.
Пусть D - m-связная область с границей и f – аналитическая в D, непрерывная в функция. Имеет место формула
Доказательство. Если , то равенство нулю интеграла следует из аналитичности подинтегральной функции для всех .
Пусть C – окружность с центром в достаточно малого радиуса. Для области с границей точка z является внешней.
Рис. 4.3.
В этом случае, согласно обобщенной теореме Коши Коши, откуда следует, что . Так как , то . Последнее равенство следует из теоремы о среднем с некоторой промежуточной точкой . В полученном равенстве переходим к пределу при и получаем требуемое равенство . Отметим, что , то есть, последний интеграл является константой, другими словами, не зависит от r.
Следствие. Теорема о среднем. Если f непрерывна на |z| r и аналитическая в |z|<r, то
2.Интеграл типа Коши. Интегралом типа Коши называется интеграл
, где - кусочно-гладкая замкнутая кривая Жордана, ограничивающая область D, а - непрерывная на функция.
Теорема. Интеграл типа Коши является аналитической функцией в области D и
Доказательство. Граница Г предполагается спрямляемой. Обозначим ее длину через l. Выпишем равенства, необходимые для вычисления производной:
Выражение внутри второго интеграла преобразуется к виду:
Выберем окрестность точки z0 , целиком лежащую в области D
Рис. 4.4.
Если , то расстояние от до таких точек z будет больше чем , тогда, если , то , откуда следует неравенство
.
Таким образом, существует . Аналогичным образом можно доказать существование старших производных и формулу для их вычисления.